Image et antécédent : exercices corrigés de 3e

On écrit $f(5) = 3 \times 5 - 4$.

On calcule la multiplication : $3 \times 5 = 15$.

On soustrait : $15 - 4 = 11$.

On conclut : l'image de 5 par $f$ est 11, on note $f(5) = 11$.

On remplace $x$ par $-3$ en gardant les parenthèses : $g(-3) = (-3)^2 + 1$.

On calcule le carré : $(-3)^2 = (-3)\times(-3) = 9$.

On ajoute 1 : $9 + 1 = 10$.

On conclut : $g(-3) = 10$.

Pour l'image de 2, on cherche 2 dans la ligne de $x$ : en dessous se trouve 9. Donc $h(2) = 9$.

Pour l'antécédent de 11, on cherche 11 dans la ligne de $h(x)$ : au-dessus se trouve 3.

On conclut : 3 est un antécédent de 11 par $h$, car $h(3) = 11$.

On vérifie qu'aucune autre colonne ne contient 11 : c'est bien la seule dans ce tableau.

Le nombre choisi est $x$.

On le multiplie par 4 : $4x$.

On soustrait 7 : $p(x) = 4x - 7$.

On calcule $p(6) = 4 \times 6 - 7 = 24 - 7 = 17$.

L'image de 6 par $p$ est 17.

Chercher l'antécédent de $-5$ revient à résoudre $f(x) = -5$, soit $-2x + 7 = -5$.

On retire 7 aux deux membres : $-2x = -5 - 7 = -12$.

On divise par $-2$ : $x = \dfrac{-12}{-2} = 6$.

Vérification : $f(6) = -2 \times 6 + 7 = -12 + 7 = -5$. Le résultat est correct.

L'antécédent de $-5$ par $f$ est 6.

On calcule $g(5) = 5 + 4 = 9$.

Il faut maintenant trouver $x$ tel que $f(x) = 9$, soit $2x - 3 = 9$.

On ajoute 3 aux deux membres : $2x = 12$.

On divise par 2 : $x = 6$.

Vérification : $f(6) = 2 \times 6 - 3 = 9$. L'antécédent de 9 par $f$ est donc 6.

On calcule $f(5) = 5^2 - 4 \times 5 = 25 - 20 = 5$.

On calcule $f(-1) = (-1)^2 - 4 \times (-1) = 1 + 4 = 5$.

Les nombres 5 et $-1$ ont la même image, 5 : ce sont deux antécédents de 5.

Pour savoir s'il y en a d'autres, on résout $x^2 - 4x = 5$, soit $x^2 - 4x - 5 = 0$.

On factorise : $(x - 5)(x + 1) = 0$. Un produit est nul si l'un des facteurs est nul : $x = 5$ ou $x = -1$.

Le nombre 5 admet donc exactement deux antécédents : 5 et $-1$.

Le périmètre vaut $2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) = 20$, donc longueur + largeur $= 10$. Si un côté vaut $x$, l'autre vaut $10 - x$, et l'aire vaut $A(x) = x(10 - x)$.

On calcule $A(3) = 3 \times 7 = 21$. L'image de 3 est 21.

On cherche $x$ tel que $x(10 - x) = 24$, soit $10x - x^2 = 24$, donc $x^2 - 10x + 24 = 0$.

On factorise : $(x - 4)(x - 6) = 0$, donc $x = 4$ ou $x = 6$. Les deux sont dans l'intervalle $]0\,;10[$.

Vérification : $A(4) = 4 \times 6 = 24$ et $A(6) = 6 \times 4 = 24$. Les antécédents de 24 sont 4 et 6 ; le plus petit est 4.

Pour 26, on résout $x(10 - x) = 26$, soit $x^2 - 10x + 26 = 0$. Or $x^2 - 10x + 26 = (x - 5)^2 + 1$, qui est toujours supérieur ou égal à 1, donc jamais nul.

Le nombre 26 n'a donc aucun antécédent par $A$. Cela a du sens : l'aire maximale est atteinte pour $x = 5$ (carré de côté 5) et vaut 25 cm².