Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un arbre de probabilités résume une expérience aléatoire à plusieurs épreuves : chaque branche porte une probabilité.6
Règle du produit : on multiplie les probabilités le long d'un chemin pour obtenir la probabilité du résultat auquel il mène.45
Règle de la somme : pour un événement qui se réalise par plusieurs chemins, on additionne les probabilités de ces chemins.4
Les probabilités des branches qui partent d'un même nœud ont pour somme 1 ; avec remise elles se répètent, sans remise elles changent.
L'événement contraire raccourcit souvent le calcul : P(A)=1−P(Aˉ).3
Pourquoi dessiner un arbre ?
Tu connais déjà le calcul d'une probabilité dans un cas simple : on compte les issues favorables et on divise par le nombre total d'issues, quand toutes les issues ont la même chance.3 Cela suffit pour une épreuve, par exemple un tirage de boule. Mais que faire quand l'expérience comporte deux épreuves qui se suivent : tirer une boule puis une deuxième, lancer une pièce puis choisir une urne ?
C'est là que l'arbre devient précieux. Un arbre de probabilités est un schéma qui résume une expérience aléatoire dont on connaît les probabilités conditionnelles.6 Dit plus simplement : à chaque étape, on écrit ce qui peut arriver, et à côté de chaque possibilité on note sa probabilité, en tenant compte de ce qui s'est déjà passé.
Le programme demande d'utiliser un arbre pondéré ou un tableau pour calculer une probabilité.2 Au DNB, l'arbre est l'outil qui évite de se perdre dans une liste de cas.
Lire et construire un arbre pondéré
Prenons un exemple très simple. Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules noires, toutes indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.
On dessine un point de départ, puis deux branches : une vers « R » (rouge) et une vers « N » (noire). Sur la branche R on écrit 53, sur la branche N on écrit 52.
Observe que 53+52=1. Ce n'est pas un hasard : les branches qui partent d'un même nœud représentent toutes les issues possibles de l'épreuve, et il y en a forcément une qui se réalise. Leurs probabilités ont donc une somme égale à 1. C'est ton premier réflexe de contrôle : somme de chaque nœud = 1.
RepérerÉpreuves successives, avec ou sans remise
TracerUne branche par issue, à chaque nœud
PondérerSomme égale à 1 à chaque nœud
MultiplierLe long de chaque chemin
AdditionnerLes chemins qui réalisent l'événement
Construire et utiliser un arbre pondéré · Ordre de travail conseillé devant un problème de probabilités à deux épreuves.
La règle du produit : multiplier le long des branches
Sur une branche de deuxième étape, la probabilité écrite n'est pas une probabilité « ordinaire » : c'est la probabilité de l'issue sachant ce qui s'est passé à la première étape. Au lycée, on l'appellera une probabilité conditionnelle ; en 3e, retiens simplement qu'elle se calcule en tenant compte du résultat de la première épreuve.
Quand le tirage est sans remise
Reprenons le même sac (3 rouges, 2 noires), mais cette fois on ne remet pas la première boule. Le contenu du sac change après le premier tirage, donc les probabilités du second tirage dépendent du premier. Les épreuves ne sont plus indépendantes.
La règle de la somme : plusieurs chemins pour un même événement
Souvent, l'événement demandé ne correspond pas à un seul chemin. Par exemple : « obtenir une boule rouge et une boule noire, dans n'importe quel ordre ». Deux chemins mènent à ce résultat : rouge puis noire, ou noire puis rouge. Ces deux chemins ne peuvent pas se réaliser en même temps : ce sont des cas qui s'excluent.
L'événement contraire pour aller plus vite
Les sujets de référence du DNB demandent parfois de proposer deux méthodes pour calculer la probabilité d'un événement, dont l'une passe par l'événement contraire.3 C'est typiquement le cas pour « au moins une boule rouge » : il faudrait additionner plusieurs chemins, alors que le contraire, « aucune boule rouge », ne correspond qu'à un seul chemin.
Méthode complète et rédaction au DNB
Exercices corrigés
Exercice 1 Deux tirages avec remise
★☆☆Environ 8 min
Un sac contient 4 boules rouges et 6 boules blanches, toutes indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard, on note sa couleur et on la remet dans le sac, puis on tire une seconde boule.
Construis l'arbre pondéré de l'expérience.
Calcule la probabilité d'obtenir deux boules rouges.
Indice 1
Comme la boule est remise, le sac est identique au second tirage.
Indice 2
Pour un chemin, on multiplie les probabilités portées par les branches.
Voir la correction pas à pas
Le sac contient 4+6=10 boules. Au premier tirage, P(R)=104=52 et P(B)=106=53.
La boule est remise : au second tirage, les branches portent les mêmes probabilités, 52 pour R et 53 pour B, quelle que soit la couleur du premier tirage.
On vérifie que 52+53=1 à chaque nœud.
Le chemin « rouge puis rouge » a pour probabilité 52×52=254=0,16.
La probabilité d'obtenir deux boules rouges est 254, soit 0,16.
Exercice 2 Une rouge et une verte sans remise
★★☆Environ 12 min
Une boîte contient 3 jetons rouges et 5 jetons verts. On tire successivement deux jetons sans remise.
Dessine l'arbre pondéré.
Calcule la probabilité d'obtenir un jeton de chaque couleur, dans n'importe quel ordre.
Indice 1
Après un premier tirage, il reste 7 jetons dans la boîte.
Indice 2
Deux chemins mènent à « un jeton de chaque couleur » : rouge puis vert, et vert puis rouge.
Voir la correction pas à pas
Il y a 3+5=8 jetons. Premier tirage : P(R)=83 et P(V)=85.
Si le premier jeton est rouge, il reste 2 rouges et 5 verts : les branches suivantes portent 72 (R) et 75 (V).
Si le premier jeton est vert, il reste 3 rouges et 4 verts : les branches suivantes portent 73 (R) et 74 (V).
Chemin « rouge puis vert » : 83×75=5615.
Chemin « vert puis rouge » : 85×73=5615.
Les deux chemins s'excluent, donc on additionne : 5615+5615=5630=2815.
La probabilité d'obtenir un jeton rouge et un jeton vert est 2815, soit environ 0,536.
Exercice 3 Deux urnes choisies par une pièce
★★★Environ 15 min
On lance une pièce équilibrée. Si elle tombe sur pile, on tire une boule dans l'urne A, qui contient 2 boules noires et 3 boules blanches. Si elle tombe sur face, on tire une boule dans l'urne B, qui contient 3 boules noires et 1 boule blanche.
Construis l'arbre pondéré.
Calcule la probabilité d'obtenir une boule noire.
Déduis-en la probabilité d'obtenir une boule blanche.
Indice 1
Les branches de la première étape portent 21 chacune ; la deuxième étape dépend de l'urne choisie.
Indice 2
Il y a deux chemins qui mènent à une boule noire : un par urne.
Voir la correction pas à pas
Première étape : P(pile)=21 et P(face)=21.
Urne A (5 boules) : noire avec 52, blanche avec 53. Urne B (4 boules) : noire avec 43, blanche avec 41.
Chemin « pile puis noire » : 21×52=51.
Chemin « face puis noire » : 21×43=83.
On additionne : 51+83=408+4015=4023.
Par l'événement contraire, P(blanche)=1−4023=4017.
La probabilité d'obtenir une boule noire est 4023=0,575 ; celle d'obtenir une boule blanche est 4017=0,425.
Quiz
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Une branche de seconde étape porte une probabilité conditionnelle, calculée en tenant compte de la première épreuve.2 La probabilité du résultat final s'obtient seulement après avoir multiplié le long du chemin. La valeur ne reste identique à la première étape que dans le cas particulier d'un tirage avec remise.
On applique la règle du produit : on multiplie le long du chemin, 0,3×0,5=0,15.4 Additionner donnerait 0,8, ce qui n'est pas la probabilité d'un chemin.
Vrai : les branches d'un nœud couvrent toutes les issues possibles de l'épreuve, et l'une d'elles se réalise forcément. Penser que la somme est « parfois différente de 1 » indique une branche oubliée ou une probabilité mal calculée.
Chaque chemin se calcule par un produit, puis on additionne les chemins qui réalisent l'événement.4 Multiplier les deux chemins n'a pas de sens : deux chemins différents ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Premier tirage : 53. Il reste alors 2 rouges sur 4 boules, soit 42 au second tirage. Donc 53×42=206=0,3. Le résultat 259=0,36 correspond à un tirage avec remise, ce qui est l'erreur tentante.
Le contraire de « au moins une rouge » est « aucune rouge », qui ne correspond qu'à un seul chemin ; on en déduit P=1−P(aucune rouge).3 « Une seule rouge » ou « deux rouges » ne sont pas le contraire de « au moins une ».
Faux : avec remise, le sac retrouve son contenu initial avant le second tirage, donc les probabilités de la seconde étape ne changent pas. C'est sans remise qu'elles dépendent du premier tirage.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois multiplier ou additionner ?
On multiplie le long d'un chemin, quand les événements se succèdent (« A puis B »).4 On additionne quand plusieurs chemins différents réalisent le même événement. Pour t'aider : « puis » entre deux étapes d'un même chemin, pense produit ; plusieurs chemins possibles pour le même résultat, pense somme.
Que faire si la somme des branches d'un nœud n'est pas égale à 1 ?
C'est le signe d'une erreur. Cherche une branche oubliée (une couleur manquante, par exemple) ou un mauvais total de boules, surtout dans un tirage sans remise où il faut retirer la boule déjà sortie.
Faut-il toujours dessiner l'arbre complet ?
Non. Dessine seulement les issues utiles. Si seule la couleur rouge compte, deux branches par nœud suffisent : « rouge » et « pas rouge ». Un arbre simplifié est plus lisible et limite les erreurs, à condition que les probabilités restent justes et que la somme vaille 1 à chaque nœud.
Quelle est la différence entre un arbre et un tableau ?
Les deux servent à calculer des probabilités.2 Le tableau convient bien quand toutes les issues sont équiprobables (deux dés, par exemple). L'arbre est plus adapté quand les probabilités de la deuxième étape changent selon la première, comme dans un tirage sans remise.
Que demande-t-on sur ce chapitre au DNB ?
L'exercice de probabilités du DNB vise à calculer des probabilités dans des cas simples, avec par exemple un tirage de boules, un calcul par dénombrement ou le recours à l'événement contraire.3 Soigne la rédaction : nomme les événements, justifie chaque produit et termine par une phrase de conclusion.