Arbres de probabilités : exercices corrigés de 3e

Il y a 8 boules en tout. Au premier tirage : $P(V) = \dfrac{5}{8}$ et $P(B) = \dfrac{3}{8}$.

Comme la boule est remise, le second tirage a les mêmes probabilités : $\dfrac{5}{8}$ pour vert, $\dfrac{3}{8}$ pour bleu, quelle que soit la première couleur. On dessine donc 2 branches à partir de chaque nœud.

Le chemin « vert puis vert » a pour probabilité le produit des branches : $\dfrac{5}{8} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{25}{64}$.

Pour la pièce : $P(\text{pile}) = \dfrac{1}{2}$.

Pour le dé, on regroupe les issues : $P(6) = \dfrac{1}{6}$ et $P(\text{pas } 6) = \dfrac{5}{6}$. Ces valeurs sont les mêmes après pile ou après face.

Le chemin « pile puis 6 » a pour probabilité : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12}$.

Premier tirage, 10 boules : $P(R) = \dfrac{4}{10}$ et $P(N) = \dfrac{6}{10}$.

Si la première boule est rouge, il reste 3 rouges et 6 noires, soit 9 boules : second tirage $\dfrac{3}{9}$ pour rouge et $\dfrac{6}{9}$ pour noire.

Si la première est noire, il reste 4 rouges et 5 noires : $\dfrac{4}{9}$ et $\dfrac{5}{9}$.

Chemin « rouge puis rouge » : $\dfrac{4}{10} \times \dfrac{3}{9} = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}$.

Les chemins favorables sont « rouge puis noire » et « noire puis rouge ».

Rouge puis noire : $\dfrac{4}{10} \times \dfrac{6}{9} = \dfrac{24}{90}$.

Noire puis rouge : $\dfrac{6}{10} \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{24}{90}$.

Ces deux chemins sont des résultats distincts : on additionne leurs probabilités ⁴. $\dfrac{24}{90} + \dfrac{24}{90} = \dfrac{48}{90} = \dfrac{8}{15}$.

L'événement contraire $\overline{A}$ est : « n'obtenir aucune boule rouge », c'est-à-dire deux boules noires.

Chemin « noire puis noire » : $\dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{30}{90} = \dfrac{1}{3}$. Après une noire tirée, il reste 5 noires sur 9 boules.

On en déduit $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.

Premier niveau : $P(U_1) = \dfrac{1}{2}$ et $P(U_2) = \dfrac{1}{2}$.

Second niveau, dans $U_1$ : $\dfrac{2}{5}$ pour rouge. Dans $U_2$ : $\dfrac{4}{5}$ pour rouge. Ce sont des probabilités conditionnelles : elles dépendent de l'urne choisie.

Chemin $U_1$ puis rouge : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{5}$. Chemin $U_2$ puis rouge : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{5}$.

Les deux chemins aboutissent à « rouge » : on additionne ⁴. $\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$.

Premier niveau : pluie $0{,}2$, pas de pluie $1 - 0{,}2 = 0{,}8$.

Après la pluie : bus $0{,}9$, pas de bus $1 - 0{,}9 = 0{,}1$. Sans pluie : bus $0{,}3$, pas de bus $0{,}7$.

Question 2, chemin « pluie puis pas de bus » : $0{,}2 \times 0{,}1 = 0{,}02$.

Question 3, chemins vers « bus » : $0{,}2 \times 0{,}9 = 0{,}18$ (pluie) et $0{,}8 \times 0{,}3 = 0{,}24$ (pas de pluie).

On additionne : $P(\text{bus}) = 0{,}18 + 0{,}24 = 0{,}42$. C'est exactement la logique $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$ ⁴.

À chaque tour : $P(R) = \dfrac{1}{4}$ et $P(B) = \dfrac{3}{4}$, puisque les tours sont indépendants.

Les chemins à un seul rouge sont : RBB, BRB, BBR. Il y en a trois.

Chaque chemin se calcule par produit. Par exemple RBB : $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{64}$. Les deux autres donnent aussi $\dfrac{9}{64}$, car ce sont les mêmes facteurs dans un autre ordre.

On additionne les trois chemins : $3 \times \dfrac{9}{64} = \dfrac{27}{64}$.

Au total, il y a $6 + x$ boules, donc $p = \dfrac{6}{6+x}$.

Le chemin « bleue puis bleue » a pour probabilité $p \times p = p^2 = \dfrac{9}{25}$.

Comme $p$ est positif et $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}$, on obtient $p = \dfrac{3}{5}$.

On résout $\dfrac{6}{6+x} = \dfrac{3}{5}$ : le produit en croix donne $30 = 3(6 + x)$, soit $30 = 18 + 3x$, d'où $x = 4$.

Vérification : 10 boules dont 6 bleues, $\dfrac{6}{10} \times \dfrac{6}{10} = \dfrac{36}{100} = \dfrac{9}{25}$.