Expériences à deux épreuves : cours de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une expérience à deux épreuves enchaîne deux expériences aléatoires : on note le résultat sous forme de couple, par exemple (Pile ; 4).
On liste les issues avec un tableau à double entrée ou un arbre, sans en oublier ni en compter deux fois.
Si toutes les issues sont équiprobables : $P = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}$ .
Quand la deuxième épreuve ne dépend pas de la première, la probabilité d'un couple est le produit des deux probabilités.
Piège classique : sans remise, la deuxième épreuve change, donc on ne peut plus multiplier les mêmes probabilités.

Deux épreuves à la suite : de quoi parle-t-on ?

Jusqu'ici, tu as calculé des probabilités pour une seule expérience aléatoire : lancer un dé, tirer une boule dans un sac, faire tourner une roue. Dans la vie courante, et dans les problèmes de probabilités, il arrive souvent qu'on enchaîne deux expériences : on lance une pièce puis un dé, on tire une boule puis une seconde, on fait tourner une roulette puis on lance un dé. Le document d'accompagnement du programme de collège consacre un paragraphe à ces expériences aléatoires à deux épreuves.¹ Il les étudie avec deux outils : l'arbre et le produit de probabilités.¹

Ce cours construit tout pas à pas. Tu apprendras à décrire les résultats possibles, à les compter, puis à calculer des probabilités de deux façons : en comptant, et en multipliant. Le chapitre suivant, consacré aux arbres de probabilités, s'appuiera directement sur ce que tu vois ici.

Lister toutes les issues sans en oublier

Avant de calculer la moindre probabilité, il faut savoir combien d'issues existent. Le danger est double : en oublier, ou en compter deux fois. Pour l'éviter, on organise la liste. Deux méthodes principales s'offrent à toi : le tableau à double entrée et l'arbre, ce dernier étant l'outil que le document d'accompagnement met en avant pour ces expériences.¹

Les 12 issues d'une pièce suivie d'un dé
Pièce / Dé	1	2	3	4	5	6
Pile	(Pile ; 1)	(Pile ; 2)	(Pile ; 3)	(Pile ; 4)	(Pile ; 5)	(Pile ; 6)
Face	(Face ; 1)	(Face ; 2)	(Face ; 3)	(Face ; 4)	(Face ; 5)	(Face ; 6)

Les 12 issues d'une pièce suivie d'un dé · Chaque case est une issue : 2 lignes fois 6 colonnes donnent 12 issues.

Le même travail peut se faire avec un arbre : on dessine d'abord les branches de la première épreuve, puis, au bout de chacune, les branches de la seconde. Chaque chemin complet, de la racine jusqu'au bout d'une branche, correspond à une issue. Tu retrouves bien 12 chemins pour la pièce et le dé : 2 branches au départ, puis 6 branches à partir de chacune.

Le tableau est pratique quand les deux épreuves ont peu de résultats et qu'on veut tout voir d'un coup d'œil. L'arbre devient plus commode quand les probabilités ne sont pas égales ou quand on a plus de deux épreuves, et c'est l'objet du chapitre suivant.

Calculer une probabilité en comptant les issues

Quand toutes les issues d'une expérience sont équiprobables, tu sais déjà calculer une probabilité : on compte les cas favorables et on divise par le nombre de cas possibles. Cette règle reste valable pour une expérience à deux épreuves, à condition de l'appliquer aux couples et non aux résultats séparés. Le document d'accompagnement insiste d'ailleurs sur le fait qu'il faut pouvoir donner une justification des calculs de probabilités dans ces expériences : le comptage des couples en fournit une.¹

Multiplier les probabilités

Le comptage fonctionne bien, mais il devient lourd quand les épreuves ont beaucoup de résultats ou quand les issues ne sont pas équiprobables. Il existe une autre façon de calculer, plus rapide : multiplier les probabilités de chaque épreuve.

Le document d'accompagnement du programme le montre ainsi : la probabilité d'obtenir un résultat donné à la première épreuve et un résultat donné à la seconde est le produit des probabilités de chacun. Dans son exemple, on rencontre les probabilités 1/4 et 1/6, et la probabilité du couple correspondant est leur produit.¹ Nous allons comprendre pourquoi cela marche, puis l'utiliser.

Démonstration · Pourquoi on multiplie (cas d'une pièce et d'un dé)

Reprenons la pièce suivie du dé. On cherche $P(\text{Pile puis } 4)$ .

Par comptage : il y a 12 issues équiprobables, une seule est favorable, donc la probabilité vaut $\dfrac{1}{12}$ .

Par produit : $P(\text{Pile}) = \dfrac{1}{2}$ et $P(4) = \dfrac{1}{6}$ , et

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}.$

Les deux méthodes donnent le même résultat. L'idée générale : sur 12 répétitions imaginaires de l'expérience, on s'attend à avoir Pile environ la moitié du temps, soit 6 fois, et parmi ces 6 fois, le 4 sort environ une fois sur 6, soit 1 fois. Une fois sur 12 : on a bien pris « un sixième de la moitié ».

Événements composés : additionner des cas

Souvent, l'événement demandé regroupe plusieurs issues. « Obtenir deux boules de la même couleur », par exemple, peut se réaliser de deux façons : rouge puis rouge, ou bleue puis bleue. Il faut alors calculer la probabilité de chaque issue, puis additionner, parce que ces issues ne peuvent pas se produire en même temps.

ExempleDeux boules de la même couleur (avec remise)

Reprenons le sac de 3 boules rouges et 2 boules bleues, avec remise. L'événement « les deux boules ont la même couleur » est réalisé par deux issues.

rouge puis rouge : $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$ ;
bleue puis bleue : $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}$ .

Donc $P = \dfrac{9}{25} + \dfrac{4}{25} = \dfrac{13}{25}$ .

Pour contrôler, calcule la probabilité de l'événement contraire « les deux couleurs sont différentes » : rouge puis bleue ( $\dfrac{6}{25}$ ) ou bleue puis rouge ( $\dfrac{6}{25}$ ), soit $\dfrac{12}{25}$ . Et $\dfrac{13}{25} + \dfrac{12}{25} = 1$ , comme il se doit.

La méthode complète et les erreurs à éviter

Voici la démarche à suivre devant n'importe quel énoncé de ce chapitre. Elle te sert aussi de plan de rédaction, puisqu'une solution claire montre chaque étape.

Repérer les épreuvesNomme la 1re et la 2e, vérifie si la 2e dépend de la 1re.
Lister les issuesTableau ou arbre : chaque issue est un couple.
Repérer les cas favorablesEntoure les couples qui réalisent l'événement.
Calculer et contrôlerCompte ou multiplie, puis vérifie par l'autre méthode.

Méthode pour une expérience à deux épreuves · À suivre dans cet ordre pour chaque énoncé.

ExempleExemple rédigé en entier

Énoncé. On lance un dé équilibré à six faces, puis on tire une carte au hasard dans un jeu de 4 cartes (un as, un roi, une dame, un valet). Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre inférieur ou égal à 2, puis l'as ?

Étape 1 : les deux épreuves. Première épreuve : le dé (6 résultats). Seconde épreuve : la carte (4 résultats). Elles ne dépendent pas l'une de l'autre.

Étape 2 : les issues. Il y a $6 \times 4 = 24$ couples équiprobables.

Étape 3 : l'événement. Les couples favorables sont (1 ; as) et (2 ; as) : il y en a 2.

Étape 4 : le calcul. Par comptage, $P = \dfrac{2}{24} = \dfrac{1}{12}$ . Par produit, $\dfrac{2}{6} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$ . Les deux méthodes concordent.

Conclusion. La probabilité est de $\dfrac{1}{12}$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Une pièce puis un dé

★☆☆Environ 5 min

On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré à six faces.

Quelle est la probabilité d'obtenir Face, puis un nombre pair ? Donne le résultat sous forme décimale.

Indice 1

Combien d'issues possibles y a-t-il ? Combien sont favorables ?

Indice 2

Tu peux aussi multiplier la probabilité de Face par celle d'un nombre pair.

Voir la correction pas à pas

Le nombre d'issues est $2 \times 6 = 12$ , toutes équiprobables.
Les issues favorables sont (Face ; 2), (Face ; 4) et (Face ; 6) : il y en a 3.
Par comptage, $P = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ .
Contrôle par le produit : $P(\text{Face}) = \dfrac{1}{2}$ , $P(\text{pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ , et $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ .

La probabilité d'obtenir Face puis un nombre pair est de $\dfrac{1}{4}$ , soit 0,25.

Exercice 2 Somme de deux dés

★★☆Environ 8 min

On lance deux fois de suite un dé équilibré à six faces. On additionne les deux nombres obtenus.

Quelle est la probabilité que la somme soit égale à 8 ? Donne une valeur décimale arrondie au millième.

Indice 1

Construis le tableau de 36 couples, ou liste directement les couples de somme 8.

Indice 2

Pense à (2 ; 6) et (6 ; 2) : ce sont deux issues différentes.

Voir la correction pas à pas

Il y a $6 \times 6 = 36$ issues équiprobables.
On cherche les couples dont la somme vaut 8 : (2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4), (5 ; 3), (6 ; 2).
Il y a donc 5 issues favorables.
Donc $P = \dfrac{5}{36}$ , soit environ 0,139.

La probabilité d'obtenir une somme égale à 8 est $\dfrac{5}{36}$ , soit environ 0,139.

Exercice 3 Deux tirages avec remise

★★☆Environ 8 min

Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde.

Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ? Donne le résultat sous forme décimale.

Indice 1

Après la remise, le sac est-il identique au premier tirage ?

Indice 2

Multiplie la probabilité du premier tirage par celle du second.

Voir la correction pas à pas

Le premier tirage donne une rouge avec la probabilité $\dfrac{3}{5}$ .
La boule est remise : le sac est identique, donc la probabilité d'une rouge au second tirage est encore $\dfrac{3}{5}$ .
Les deux tirages sont indépendants, donc on multiplie : $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$ .
Contrôle par comptage : $5 \times 5 = 25$ couples de boules, dont $3 \times 3 = 9$ ont deux rouges.

La probabilité de tirer deux boules rouges est $\dfrac{9}{25}$ , soit 0,36.

Exercice 4 Roulette puis dé

★★★Environ 10 min

Une roulette est partagée en 5 secteurs identiques : 2 sont verts et 3 sont jaunes. On la fait tourner, puis on lance un dé équilibré à six faces.

Quelle est la probabilité d'obtenir un secteur vert, puis un nombre supérieur ou égal à 5 ? Donne le résultat en valeur décimale arrondie au millième.

Indice 1

Calcule d'abord la probabilité de chaque épreuve séparément.

Indice 2

Un nombre supérieur ou égal à 5 : quels résultats du dé conviennent ?

Voir la correction pas à pas

Pour la roulette, $P(\text{vert}) = \dfrac{2}{5}$ .
Pour le dé, les résultats 5 et 6 conviennent : $P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ .
Les deux épreuves sont indépendantes : $P = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{15}$ .
Contrôle par comptage : $5 \times 6 = 30$ issues équiprobables, dont $2 \times 2 = 4$ favorables, et $\dfrac{4}{30} = \dfrac{2}{15}$ .

La probabilité est $\dfrac{2}{15}$ , soit environ 0,133.

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre une expérience à une épreuve et une expérience à deux épreuves ?

Avec une seule épreuve, un résultat est un seul élément : un nombre de dé, une couleur de boule. Avec deux épreuves, un résultat est un couple qui contient le résultat de chaque épreuve. Cela change la façon de compter : on multiplie le nombre de résultats de chaque épreuve pour obtenir le nombre d'issues.

Faut-il toujours dessiner un tableau ou un arbre ?

Non. Ce sont des aides pour ne rien oublier. Si les deux épreuves sont simples et que tu peux raisonner par produit des probabilités, un calcul bien rédigé suffit. En revanche, quand tu hésites sur les issues, dessiner le tableau ou l'arbre évite les oublis, et l'arbre deviendra l'outil principal dans le chapitre suivant.

Comment savoir si je dois multiplier ou additionner ?

Pose-toi la question : est-ce que j'enchaîne deux épreuves (« puis », « et ») ou est-ce que je regroupe plusieurs issues différentes (« ou ») ? Pour enchaîner, on multiplie les probabilités. Pour regrouper des issues qui ne peuvent pas arriver ensemble, on additionne. Un résultat supérieur à 1 signale presque toujours une confusion entre les deux.

Que change un tirage sans remise ?

Sans remise, la composition du sac change après le premier tirage, donc les probabilités du second tirage ne sont plus les mêmes. On ne peut plus utiliser deux fois la même probabilité. On doit tenir compte de ce qui reste dans le sac, par exemple 2 rouges sur 4 boules au lieu de 3 sur 5. Cette situation se traite très bien avec un arbre de probabilités.

Pourquoi calculer la probabilité de deux façons quand c'est possible ?

Parce que les deux méthodes se contrôlent l'une l'autre. Si le comptage donne $\dfrac{1}{12}$ et que le produit donne aussi $\dfrac{1}{12}$ , tu peux être confiant. Si les résultats diffèrent, il y a une erreur : issue oubliée, couple compté deux fois, ou probabilité mal calculée. Le plus souvent, l'écart vient d'une issue manquante ou d'une addition là où il fallait multiplier.

Sources

Document accompagnement collège — Probabilités, IREM Université Lille 1. Consulté le 6 novembre 2026.
Expérience de Stanford, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Expérience, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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