Expériences à deux épreuves : exercices corrigés de 3e

Première épreuve : la pièce est équilibrée, donc $P(\text{Pile}) = \frac{1}{2}$.

Seconde épreuve : le lancer est identique et ne dépend pas du premier, donc $P(\text{Pile}) = \frac{1}{2}$ aussi.

On multiplie les probabilités des deux étapes du chemin « Pile puis Pile » : $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.¹

On peut vérifier avec la liste des issues : PP, PF, FP, FF. Elles sont équiprobables et une seule convient, soit $\frac{1}{4}$.

Première épreuve (le dé) : six issues équiprobables, donc $P(5) = \frac{1}{6}$.

Seconde épreuve (la pièce) : deux issues équiprobables, donc $P(\text{Pile}) = \frac{1}{2}$.

Le chemin « 5 puis Pile » a pour probabilité le produit : $\frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$.

Valeur approchée : $\frac{1}{12} \approx 0{,}083$.

Première épreuve : 2 secteurs gagnants sur 5 de même taille, donc $P(\text{gagnant}) = \frac{2}{5}$.

Seconde épreuve : on lance le dé, donc $P(6) = \frac{1}{6}$.

Le gros lot correspond au seul chemin « gagnant puis 6 ». On multiplie : $\frac{2}{5} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.

Valeur approchée : $\frac{1}{15} \approx 0{,}067$.

À chaque tirage, $P(R) = \frac{3}{5}$ et $P(B) = \frac{2}{5}$, car le sac retrouve sa composition initiale.

Deux rouges : $\frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$.

Deux bleues : $\frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$.

Les chemins RR et BB s'excluent l'un l'autre, on additionne : $\frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25}$.

Valeur décimale : $\frac{13}{25} = 0{,}52$.

Premier tirage : 3 rouges sur 5 boules, donc $P(R) = \frac{3}{5}$.

Si la première boule est rouge et n'est pas remise, il reste 2 rouges et 2 bleues, soit 4 boules. La probabilité d'une rouge au second tirage est alors $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

On multiplie les probabilités le long du chemin « rouge puis rouge » : $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

Vérification du bon sens : le résultat $0{,}3$ est inférieur à celui du tirage avec remise ($0{,}36$), ce qui est logique, puisque retirer une rouge rend une seconde rouge moins probable.

Chaque dé a 6 issues. L'expérience complète a $6 \times 6 = 36$ couples, tous de même probabilité $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.¹

Couples de somme 7 : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1). Il y en a 6, un pour chaque valeur du premier dé.

Chaque couple a une probabilité de $\frac{1}{36}$, et on additionne les 6 chemins : $6 \times \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Valeur approchée : $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$.

Le contraire de A est « obtenir Pile aux deux lancers », c'est-à-dire le chemin PP.

Sa probabilité est $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

On en déduit $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Vérification par les chemins : A est réalisé par PF, FP et FF, de probabilité $\frac{1}{4}$ chacun. Leur somme est $3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.