Triangles égaux : exercices corrigés de 3e

Les trois côtés de $ABC$ ont les mêmes longueurs que les trois côtés de $DEF$, deux à deux : $AB = DE$, $BC = EF$, $AC = DF$.

C'est le cas « trois côtés » : quand les côtés de deux triangles sont égaux deux à deux, les triangles sont isométriques, c'est-à-dire égaux.³ Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont donc égaux.

Dans des triangles égaux, les angles homologues ont la même mesure.¹ L'angle $\widehat{ABC}$ est situé entre les côtés $[BA]$ et $[BC]$ ; l'angle homologue dans $DEF$ est entre $[ED]$ et $[EF]$ : c'est $\widehat{DEF}$.

Dans $ABC$, l'angle en $B$ est compris entre $[BA]$ et $[BC]$. Dans $DEF$, l'angle en $E$ est compris entre $[ED]$ et $[EF]$, avec $AB = DE$, $BC = EF$ et $\widehat{ABC} = \widehat{DEF}$.

On a donc, dans les deux triangles, un angle de même mesure encadré par deux côtés égaux chacun à son homologue : c'est le cas « angle et deux côtés ».³ Donc $ABC$ et $DEF$ sont égaux.

Calcule l'angle manquant de $ABC$ : les trois angles d'un triangle totalisent $180^\circ$,¹ donc $\widehat{ACB} = 180 - 70 - 50 = 60^\circ$.

Les triangles sont égaux, donc l'angle homologue de $\widehat{ACB}$ est $\widehat{DFE}$ et il a la même mesure.¹

Dans chaque triangle, le côté de 10 cm est compris entre l'angle de $40^\circ$ et l'angle de $75^\circ$ : $[BC]$ entre $B$ et $C$, $[EF]$ entre $E$ et $F$.

Les deux triangles ont un côté de même longueur, et les deux angles qui s'appuient sur ce côté sont égaux à leurs homologues : c'est le cas « côté et deux angles ».³ Donc $DEF$ est égal à $ABC$.

Les côtés homologues ont la même longueur : $DE = AB \approx 10{,}7$ cm et $DF = AC \approx 7{,}1$ cm.

Périmètre : $10 + 10{,}7 + 7{,}1 = 27{,}8$ cm.

$ABC$ est isocèle en $A$, donc $AB = AC$.⁴ Comme $H$ est le milieu de $[BC]$, $HB = HC$. Enfin $[AH]$ est un côté commun aux deux triangles.

Les trois côtés de $ABH$ ont les mêmes longueurs que ceux de $ACH$, deux à deux : les triangles sont égaux (cas des trois côtés).³

Dans un triangle isocèle, les deux angles situés sur la base ont la même mesure,⁴ donc $\widehat{ACB} = 70^\circ$. Alors $\widehat{BAC} = 180 - 70 - 70 = 40^\circ$.¹

Les triangles $ABH$ et $ACH$ étant égaux, $\widehat{BAH} = \widehat{CAH}$, et ces deux angles forment $\widehat{BAC}$. Chacun mesure $40 \div 2 = 20^\circ$.

De même $\widehat{AHB} = \widehat{AHC}$ ; ces deux angles sont supplémentaires (ils forment un angle plat de $180^\circ$), donc chacun mesure $90^\circ$. On retrouve que la médiane issue de $A$ est aussi hauteur et bissectrice.⁴

Dans les triangles $ABC$ et $ADC$ : $AB = AD$ (donnée), $CB = CD$ (donnée) et $[AC]$ est commun.

Les trois côtés sont égaux deux à deux : les triangles sont égaux d'après le cas des trois côtés.³

Les angles homologues ont la même mesure,¹ donc $\widehat{DAC} = \widehat{BAC} = 34^\circ$.

L'angle $\widehat{BAD}$ est formé des deux angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{CAD}$ : $34 + 34 = 68^\circ$.

Les côtés homologues de triangles égaux ont la même longueur.³ Donc $AB = DE$, soit $2x + 1 = 11$.

On résout : $2x = 10$, donc $x = 5$.

Vérification : $DF = 3 \times 5 - 5 = 10$, et $AC = 10$. L'égalité $AC = DF$ est bien vérifiée.

Enfin $BC = EF = 7$ : les trois côtés sont égaux deux à deux, ce qui est cohérent avec des triangles égaux par le cas des trois côtés.

Comme $ABC$ est isocèle en $A$, on a $AB = AC$.⁴

Les points $D$ et $E$ étant sur $[AB]$ et $[AC]$, l'angle $\widehat{BAE}$ et l'angle $\widehat{CAD}$ sont tous deux le même angle $\widehat{BAC}$.

Dans $ABE$ et $ACD$ : $AB = AC$, $\widehat{BAE} = \widehat{CAD}$ et $AE = AD$. L'angle commun est compris entre deux côtés égaux chacun à son homologue ($AB = AC$ et $AE = AD$) : les triangles sont égaux (cas « angle et deux côtés »).³

Des triangles égaux ont leurs côtés homologues de même longueur, donc $BE = CD$, et leurs angles homologues de même mesure,¹ donc $\widehat{ABE} = \widehat{ACD}$.