Calculer un angle avec la trigonométrie : cours de 3e

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Dans un triangle rectangle, si tu connais deux côtés, tu peux trouver un angle aigu avec le cosinus, le sinus ou la tangente.
Choisis le rapport d'après les deux côtés connus : adjacent et hypoténuse (cosinus), opposé et hypoténuse (sinus), opposé et adjacent (tangente).
Calcule d'abord le rapport sous forme de fraction, puis utilise la touche « cos⁻¹ », « sin⁻¹ » ou « tan⁻¹ » de la calculatrice réglée en degrés.
Arrondis à la fin seulement, en gardant les valeurs exactes pendant le calcul, et vérifie que l'angle est compris entre 0° et 90°.
Contrôle : les deux angles aigus d'un triangle rectangle ont pour somme 90°.

Pourquoi calculer un angle ?

Jusqu'ici, tu as utilisé le cosinus, le sinus et la tangente pour trouver une longueur : tu connaissais un angle et un côté, et tu cherchais un autre côté. Le programme de fin de 3e demande d'utiliser les lignes trigonométriques dans un triangle rectangle pour calculer des longueurs ¹, et ces rapports trigonométriques dans le triangle rectangle font partie des acquis du cycle 4 ⁶. Dans ce cours, on renverse la question : tu connais deux côtés d'un triangle rectangle et tu cherches la mesure d'un angle.

Cette situation est très courante. Quelle est l'inclinaison d'une rampe d'accès si elle monte de 0,5 m sur 6 m de long ? Quel angle fait une échelle avec le sol quand son pied est à 1,5 m du mur ? Sous quel angle voit-on le sommet d'un arbre depuis un point du sol ? Dans chaque cas, tu mesures des longueurs, souvent faciles à relever, et tu en déduis un angle, plus difficile à mesurer directement.

Pour réussir, tu dois bien maîtriser deux choses déjà vues : reconnaître les côtés (hypoténuse, côté adjacent, côté opposé) et écrire le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle sous forme de fraction. Si l'une de ces deux étapes est fragile, reprends d'abord la notion « Cosinus, sinus et tangente ».

Rappel : les trois rapports dans un triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Les programmes de géométrie reposent sur un vocabulaire précis : côté, sommet, angle, segment ⁵. Et un fait utile à garder en tête : tous les angles droits sont égaux entre eux ⁴. Sur une figure, on vérifie un angle droit avec l'équerre et on le code par un petit carré.

Prenons un triangle $ABC$ rectangle en $A$ et regardons l'angle aigu $\widehat{ABC}$ . Les trois côtés ont chacun un rôle bien précis par rapport à cet angle.

Un triangle rectangle pour repérer les côtés · Par rapport à l'angle B : adjacent AB, opposé AC, hypoténuse BC.

Le principe : revenir du rapport à l'angle

Quand tu cherchais une longueur, tu partais d'un angle connu, comme $\cos 40°$ , et ta calculatrice te donnait un nombre. Pour trouver un angle, tu fais le chemin inverse : tu connais le nombre (le rapport des deux côtés) et tu cherches l'angle qui lui correspond.

La méthode en quatre étapes

RepérerNomme adjacent, opposé et hypoténuse.
ChoisirPrends le rapport des deux côtés connus.
ÉcrirePose l'égalité avec les lettres, puis les valeurs.
CalculerUtilise cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹, puis arrondis.

Calculer un angle en quatre étapes

MéthodeChoisir le bon rapport

Côtés connus	Rapport à utiliser	Formule pour l'angle
adjacent et hypoténuse	cosinus	$\widehat{B} = \cos^{-1}\left(\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\right)$
opposé et hypoténuse	sinus	$\widehat{B} = \sin^{-1}\left(\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\right)$
opposé et adjacent	tangente	$\widehat{B} = \tan^{-1}\left(\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\right)$

Une astuce pour mémoriser : le mot CAH-SOH-TOA. CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse. SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse. TOA : Tangente = Opposé / Adjacent.

Trois exemples rédigés

Trouver le deuxième angle et vérifier

Problèmes concrets et rédaction

Les problèmes de type brevet (DNB) présentent souvent un contexte : une échelle contre un mur, une rampe, un toit, un câble tendu, une ombre. Le travail essentiel consiste à dessiner un triangle rectangle et à y placer les longueurs connues. Ensuite, la méthode est identique.

ExempleL'inclinaison d'une rampe

Une rampe d'accès s'élève de $0{,}6$ m sur une longueur de sol de $8$ m (mesurée à l'horizontale). Quel angle fait-elle avec le sol ?

Modélisation. On dessine un triangle $ABC$ rectangle en $B$ : $AB = 8$ m est la longueur horizontale, $BC = 0{,}6$ m est la hauteur, et l'angle cherché est $\widehat{BAC}$ .

Par rapport à $\widehat{A}$ , le côté opposé est $[BC]$ et le côté adjacent est $[AB]$ . On utilise la tangente : $\tan \widehat{BAC} = \frac{BC}{AB} = \frac{0{,}6}{8} = 0{,}075$

Donc $\widehat{BAC} = \tan^{-1}(0{,}075) \approx 4{,}29°$ .

Conclusion. La rampe fait un angle d'environ $4{,}3°$ avec le sol.

S'entraîner efficacement

Pour t'auto-évaluer, tu peux t'appuyer sur des séries de dix exercices ou problèmes de trigonométrie, dont la difficulté se règle sur trois niveaux, comme le propose une ressource Éduscol d'auto-évaluation ⁶. Les exercices de ce cours suivent le même esprit : ils montent en difficulté, du plus direct au plus modélisé.

Exercices corrigés

Exercice 1 Un angle avec la tangente

★☆☆Environ 5 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 5$ cm et $AC = 12$ cm. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ , arrondie au dixième de degré.

Indice 1

Par rapport à l'angle $\widehat{B}$ , quel est le côté opposé ? Quel est le côté adjacent ?

Indice 2

L'hypoténuse n'est pas donnée : quel rapport n'en a pas besoin ?

Voir la correction pas à pas

Par rapport à $\widehat{ABC}$ , le côté opposé est $[AC]$ et le côté adjacent est $[AB]$ .
On connaît l'opposé et l'adjacent : on utilise la tangente.
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ : $\tan \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4$ .
À la calculatrice en mode degrés : $\widehat{ABC} = \tan^{-1}(2{,}4) \approx 67{,}38°$ .
On arrondit au dixième de degré : $67{,}4°$ .

L'angle $\widehat{ABC}$ mesure environ $67{,}4°$ . Contrôle : il est compris entre $0°$ et $90°$ , et il est supérieur à $45°$ parce que le côté opposé ( $12$ ) est plus long que l'adjacent ( $5$ ).

Exercice 2 L'échelle et le mur

★★☆Environ 8 min

Une échelle de $4$ m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est posé sur le sol horizontal à $1{,}5$ m du mur. Quel angle l'échelle forme-t-elle avec le sol ? Arrondis au dixième de degré.

Indice 1

Fais un schéma : l'échelle est l'hypoténuse du triangle rectangle.

Indice 2

L'angle cherché est au pied de l'échelle. Quel côté lui est adjacent ?

Voir la correction pas à pas

On modélise la situation par un triangle rectangle au pied du mur. L'échelle ( $4$ m) est l'hypoténuse.
La distance du pied de l'échelle au mur ( $1{,}5$ m) touche l'angle cherché : c'est le côté adjacent.
On connaît l'adjacent et l'hypoténuse : on utilise le cosinus.
$\cos \widehat{\alpha} = \dfrac{1{,}5}{4} = 0{,}375$ .
À la calculatrice : $\widehat{\alpha} = \cos^{-1}(0{,}375) \approx 67{,}98°$ .
On arrondit au dixième de degré : $68{,}0°$ .

L'échelle forme un angle d'environ $68{,}0°$ avec le sol. Contrôle : l'angle avec le mur vaut $90° - 68{,}0° = 22{,}0°$ , et il est petit, ce qui est logique puisque le pied est proche du mur.

Exercice 3 Les deux angles d'un triangle

★★☆Environ 8 min

Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ , avec $RT = 9$ cm et $ST = 4$ cm. Calcule la mesure de $\widehat{SRT}$ au dixième de degré, puis celle de $\widehat{RTS}$ .

Indice 1

Par rapport à $\widehat{SRT}$ , le côté $[ST]$ lui fait face.

Indice 2

Une fois le premier angle trouvé, le second se déduit sans nouvelle trigonométrie.

Voir la correction pas à pas

Par rapport à $\widehat{SRT}$ , le côté opposé est $[ST]$ et l'hypoténuse est $[RT]$ .
On utilise le sinus : $\sin \widehat{SRT} = \dfrac{ST}{RT} = \dfrac{4}{9}$ .
À la calculatrice : $\widehat{SRT} = \sin^{-1}\left(\dfrac{4}{9}\right) \approx 26{,}39°$ , soit $26{,}4°$ .
Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires : $\widehat{RTS} = 90° - 26{,}39° = 63{,}61°$ .
On arrondit : $\widehat{RTS} \approx 63{,}6°$ .

On obtient $\widehat{SRT} \approx 26{,}4°$ et $\widehat{RTS} \approx 63{,}6°$ . Contrôle : leur somme est bien $90°$ , et le plus grand angle aigu est en face du plus long côté de l'angle droit ( $[RS]$ est plus long que $[ST]$ ).

Exercice 4 Pente d'un toit

★★★Environ 10 min

Un toit à un seul pan s'élève de $3$ m sur une distance horizontale de $12$ m. Quel angle fait-il avec l'horizontale ? Arrondis au dixième de degré. Puis dis si cette pente est plus forte ou plus faible que $45°$ , et explique pourquoi sans calculatrice.

Indice 1

Dessine le triangle rectangle formé par le sol, la hauteur et le toit.

Indice 2

Que vaut la tangente d'un angle de $45°$ ? Compare avec ton rapport.

Voir la correction pas à pas

Le triangle est rectangle : la hauteur est le côté opposé ( $3$ m), la distance horizontale est le côté adjacent ( $12$ m).
On connaît l'opposé et l'adjacent : on utilise la tangente.
$\tan \widehat{\alpha} = \dfrac{3}{12} = 0{,}25$ .
À la calculatrice : $\widehat{\alpha} = \tan^{-1}(0{,}25) \approx 14{,}04°$ , soit $14{,}0°$ .
Pour comparer avec $45°$ : un angle de $45°$ correspond à un opposé égal à l'adjacent, donc à une tangente égale à $1$ . Ici $0{,}25 < 1$ : le toit est moins pentu que $45°$ .

Le toit fait un angle d'environ $14{,}0°$ avec l'horizontale, soit une pente bien plus faible que $45°$ , puisque la hauteur ( $3$ m) est quatre fois plus petite que la longueur horizontale ( $12$ m).

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente ?

Regarde les deux côtés dont tu connais la longueur, par rapport à l'angle cherché. Adjacent et hypoténuse : cosinus. Opposé et hypoténuse : sinus. Opposé et adjacent : tangente. Le moyen mnémotechnique CAH-SOH-TOA t'aide à ne pas hésiter. Le troisième côté, inconnu, ne compte pas pour ce choix.

Pourquoi ma calculatrice donne-t-elle un résultat absurde ?

Trois causes reviennent souvent. La calculatrice n'est pas en mode degrés. Tu as tapé la fraction à l'envers (hypoténuse au numérateur). Tu as appliqué la touche $\cos$ au lieu de $\cos^{-1}$ . Fais le test $\cos^{-1}(0{,}5)$ , qui doit donner $60$ , puis vérifie que ton rapport est bien inférieur à $1$ pour un cosinus ou un sinus.

Faut-il arrondir avant ou après avoir utilisé la touche cos⁻¹ ?

Après. Garde le rapport sous forme de fraction ou utilise la valeur complète de la calculatrice, et arrondis seulement l'angle final, à la précision demandée (au degré, au dixième de degré). Arrondir le rapport trop tôt peut changer le résultat d'une fraction de degré, ce qui compte parfois quand l'énoncé impose un arrondi.

Que faire si l'énoncé ne donne qu'un seul côté et un angle ?

Dans ce cas, on ne cherche pas un angle mais une longueur : c'est le calcul vu dans la notion « Calculer une longueur ». Pour calculer un angle, il te faut deux côtés d'un triangle rectangle. Quand l'énoncé donne un angle aigu, tu peux aussi trouver l'autre en soustrayant à $90°$ .

Qu'est-ce qui peut tomber au brevet sur ce thème ?

Un problème concret (échelle, rampe, toit, câble) est un format classique : il faut modéliser par un triangle rectangle, calculer un angle ou une longueur avec la trigonométrie, et rédiger une réponse claire. Prends l'habitude d'écrire la formule avec les lettres, de remplacer par les valeurs, de donner la valeur arrondie et de conclure par une phrase.

Sources

Programme visé : 3e Mathématiques - ATTENDUS de fin d'année - Trigonométrie · Éduscol / Ministère de l'Éducation nationale

3e Mathématiques - ATTENDUS de fin d'année - Trigonométrie, Éduscol / Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement du programme de mathématiques au cycle 3, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Édubase - Apprendre la trigonométrie (séquence 3e), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Espace et géométrie au cycle 3 - Ressources d'accompagnement, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
MATHÉMATIQUES Espace et géométrie - Informer et accompagner, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Édubase - Auto-évaluation en trigonométrie, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.

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Pourquoi calculer un angle ?

Rappel : les trois rapports dans un triangle rectangle

Le principe : revenir du rapport à l'angle

La méthode en quatre étapes

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