Calculer un angle : exercices corrigés de trigonométrie en 3e

Le triangle est rectangle en $A$, donc l'hypoténuse est $[BC]$. Pour l'angle $\widehat{B}$, $[AB]$ est le côté adjacent.

On connaît l'adjacent et l'hypoténuse : on utilise le cosinus. $\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$.

On applique la fonction réciproque : $\widehat{ABC} = \cos^{-1}(0{,}6) \approx 53{,}1°$.

Pour l'angle $\widehat{F}$ : $[EF]$ touche l'angle et n'est pas l'hypoténuse (adjacent) ; $[EG]$ est en face de l'angle (opposé).

On connaît l'opposé et l'adjacent : on utilise la tangente. $\tan(\widehat{EFG}) = \dfrac{EG}{EF} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7$.

$\widehat{EFG} = \tan^{-1}(0{,}7) \approx 35{,}0°$.

L'hypoténuse est $[KL]$. Pour l'angle $\widehat{K}$, le côté $[HL]$ est en face : c'est l'opposé.

On connaît l'opposé et l'hypoténuse : on utilise le sinus. $\sin(\widehat{HKL}) = \dfrac{HL}{KL} = \dfrac{5}{13}$.

$\widehat{HKL} = \sin^{-1}\left(\dfrac{5}{13}\right) \approx 22{,}6°$. Garde la fraction dans la calculatrice plutôt qu'une valeur décimale déjà arrondie.

Première méthode. Pour l'angle $\widehat{C}$, $[AB]$ est en face de l'angle : c'est l'opposé. Avec l'hypoténuse $[BC]$, on utilise le sinus : $\sin(\widehat{ACB}) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{5}$.

On calcule : $\widehat{ACB} = \sin^{-1}(0{,}6) \approx 36{,}9°$.

Seconde méthode. La somme des angles d'un triangle est $180°$ et l'angle en $A$ vaut $90°$, donc $\widehat{B} + \widehat{C} = 90°$.

D'après l'exercice 1, $\widehat{B} \approx 53{,}1°$, donc $\widehat{C} = 90° - 53{,}1° = 36{,}9°$. Les deux résultats concordent.

On modélise par un triangle rectangle : le mur et le sol forment l'angle droit, l'échelle est l'hypoténuse de longueur $4$ m.

L'angle cherché est entre le sol et l'échelle. Le segment au sol de $1{,}2$ m touche cet angle : c'est le côté adjacent.

On connaît l'adjacent et l'hypoténuse : cosinus. $\cos(\alpha) = \dfrac{1{,}2}{4} = 0{,}3$.

$\alpha = \cos^{-1}(0{,}3) \approx 72{,}5°$.

La hauteur de $0{,}5$ m est le côté opposé à l'angle $\alpha$ que fait la rampe avec le sol. La rampe de $6$ m est l'hypoténuse.

On utilise le sinus : $\sin(\alpha) = \dfrac{0{,}5}{6} = \dfrac{1}{12}$.

$\alpha = \sin^{-1}\left(\dfrac{1}{12}\right) \approx 4{,}8°$.

Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $P$. Le triangle étant isocèle en $P$, $H$ est le milieu de $[QR]$ et $[PH)$ partage $\widehat{QPR}$ en deux angles égaux.

Donc $HR = \dfrac{10}{2} = 5$ cm. Le triangle $PHR$ est rectangle en $H$ avec $PH = 12$ cm.

Pour l'angle $\widehat{HPR}$ : $[HR]$ est en face (opposé), $[PH]$ touche l'angle (adjacent). On utilise la tangente : $\tan(\widehat{HPR}) = \dfrac{5}{12}$.

$\widehat{HPR} = \tan^{-1}\left(\dfrac{5}{12}\right) \approx 22{,}62°$.

L'angle au sommet vaut le double : $\widehat{QPR} = 2 \times 22{,}62° \approx 45{,}2°$. On a conservé les décimales jusqu'à la fin pour ne pas fausser l'arrondi.

La ligne horizontale passant par les yeux de Léa coupe la tour à $1{,}6$ m du sol. La hauteur de tour au-dessus de cette ligne est $25 - 1{,}6 = 23{,}4$ m.

On a un triangle rectangle : côté adjacent à l'angle $\beta$ de $40$ m (horizontal), côté opposé de $23{,}4$ m (vertical).

On utilise la tangente : $\tan(\beta) = \dfrac{23{,}4}{40} = 0{,}585$.

$\beta = \tan^{-1}(0{,}585) \approx 30{,}3°$.