Calculer une longueur en trigonométrie : cours de 3e

Mesurer une longueur à la règle, c'est facile quand l'objet est devant toi. Mais comment connaître la hauteur d'un arbre, la longueur d'une rampe d'accès ou celle d'une échelle posée contre un mur sans y grimper ? Dans ces situations, on ne peut pas mesurer directement. On mesure autre chose, un angle et une distance facile à atteindre, puis on calcule le reste.

C'est exactement ce que permet la trigonométrie dans un triangle rectangle. Le programme de 3e demande d'utiliser les lignes trigonométriques dans un triangle rectangle pour calculer des longueurs.¹ Tu as déjà rencontré le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu. Dans ce cours, tu apprends à t'en servir comme d'un outil de calcul : tu choisis la bonne formule, tu écris une égalité, puis tu isoles la longueur cherchée.

Calculer des longueurs à partir d'un plan ou de mesures est une activité très courante en géométrie : elle permet par exemple de déterminer les dimensions d'un objet pour le construire, comme la longueur de tôle nécessaire pour fabriquer le corps d'un réservoir cylindrique.⁵

Dans ce cours tu verras successivement : comment nommer les côtés par rapport à un angle, comment choisir le bon rapport, comment calculer quand l'inconnue est en haut ou en bas de la fraction, puis comment utiliser la calculatrice sans te tromper. Une dernière partie rassemble les erreurs les plus fréquentes au DNB.

Ces notions viennent du chapitre précédent. On les rappelle ici car tout ce qui suit en dépend. On se place dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, et on regarde l'angle aigu $\widehat{B}$.

Pour retenir ces trois formules, beaucoup d'élèves utilisent le mot CAH-SOH-TOA : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent. Peu importe l'astuce, l'essentiel est de pouvoir réécrire les trois formules sans hésiter.

Un point utile : ces rapports ne dépendent que de l'angle, pas de la taille du triangle. Un petit et un grand triangle rectangle ayant le même angle aigu donnent donc le même cosinus. C'est ce qui permet de passer d'un angle à une longueur : la proportionnalité est cachée dans le rapport.

Le cœur de l'exercice est ici. Une égalité trigonométrique relie trois éléments : un angle et deux côtés. Pour calculer une longueur, tu dois donc connaître l'angle aigu et une longueur, et chercher une deuxième longueur. Les trois éléments de l'égalité sont alors : l'angle, la longueur connue, la longueur cherchée.

C'est le cas le plus simple. Quand la longueur cherchée est en haut de la fraction, il suffit de multiplier les deux membres de l'égalité par le dénominateur.

Parfois, la longueur cherchée se trouve en bas de la fraction. Si tu multiplies sans réfléchir, tu obtiens un résultat faux. Il faut d'abord faire passer l'inconnue en haut.

Les programmes insistent sur le calcul avec des nombres, de manière exacte ou approchée, en combinant calcul mental, calcul posé et calcul instrumenté, c'est-à-dire avec une calculatrice ou un logiciel.³ Pour la trigonométrie, la calculatrice est indispensable : on ne devine pas la valeur de $\sin 35^\circ$ de tête.

Quelques angles particuliers, dits valeurs remarquables, ont un cosinus et un sinus que l'on sait calculer exactement ; ce sont des ressources du cycle 4 sur lesquelles on s'entraîne à calculer ces valeurs.² Pour tous les autres angles, on utilise la touche correspondante de la calculatrice, qui donne une valeur approchée.

Au DNB, la trigonométrie apparaît souvent dans une situation de la vie courante : une échelle contre un mur, une rampe, un arbre, un mât haubané. Il faut alors construire toi-même le triangle rectangle : l'angle droit est en général le sol et la verticale.