Calculer une longueur en trigonométrie : exercices de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Dans un triangle rectangle, on repère d'abord l'angle connu, puis les côtés hypoténuse, adjacent et opposé par rapport à cet angle.
On choisit la ligne trigonométrique qui relie le côté connu et le côté cherché : cosinus (adjacent, hypoténuse), sinus (opposé, hypoténuse), tangente (opposé, adjacent).
On écrit l'égalité, on isole la longueur cherchée, puis on calcule avec la calculatrice réglée en degrés.
On arrondit seulement à la fin et on vérifie la vraisemblance : l'hypoténuse est le plus grand côté.

Comment utiliser ces exercices

Le programme de 3e demande de se servir des lignes trigonométriques d'un triangle rectangle pour obtenir des longueurs ¹. Ces exercices t'entraînent à ce geste, des cas les plus directs jusqu'aux problèmes proches du DNB. Cherche d'abord seul, avec une feuille et ta calculatrice. Ouvre un indice seulement si tu bloques, puis compare ta méthode à la correction, étape par étape.

MéthodeLa méthode en quatre gestes

Faire un schéma du triangle rectangle et y reporter les données de l'énoncé.
Nommer les côtés par rapport à l'angle aigu connu : l'hypoténuse est en face de l'angle droit, le côté opposé est en face de l'angle connu, le côté adjacent touche l'angle connu (sans être l'hypoténuse).
Choisir la formule : on garde celle qui contient la longueur connue et la longueur cherchée, et aucune autre inconnue.
- $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
- $\sin(\widehat{A}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
- $\tan(\widehat{A}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
Isoler et calculer : on écrit l'égalité, on la transforme pour isoler la longueur, puis on calcule et on arrondit à la fin.

Les exercices

Exercice 1 L'hypoténuse avec le cosinus

★☆☆Environ 5 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On donne $AB = 5$ cm et $\widehat{ABC} = 40^\circ$ .

Calcule la longueur $BC$ , arrondie au centième de centimètre.

Indice 1

Par rapport à l'angle $\widehat{B}$ , le côté $AB$ est adjacent et $BC$ est l'hypoténuse.

Indice 2

Quelle ligne trigonométrique relie l'adjacent et l'hypoténuse ?

Voir la correction pas à pas

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ , on repère l'angle connu $\widehat{B}$ : $AB$ est le côté adjacent, $BC$ est l'hypoténuse.
On choisit le cosinus, qui relie ces deux côtés : $\cos(\widehat{B}) = \dfrac{AB}{BC}$ .
On remplace : $\cos(40^\circ) = \dfrac{5}{BC}$ .
On isole $BC$ , qui est au dénominateur : $BC = \dfrac{5}{\cos(40^\circ)}$ .
À la calculatrice en degrés : $BC \approx 6{,}53$ cm.

$BC \approx 6{,}53$ cm. Vérification : l'hypoténuse est plus grande que $AB = 5$ cm, c'est cohérent.

Exercice 2 Un côté de l'angle droit avec le sinus

★☆☆Environ 5 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On donne $BC = 10$ cm et $\widehat{ABC} = 35^\circ$ .

Calcule la longueur $AC$ , arrondie au centième de centimètre.

Indice 1

Par rapport à l'angle $\widehat{B}$ , le côté $AC$ est en face de l'angle : il est opposé.

Indice 2

On connaît l'hypoténuse et on cherche l'opposé.

Voir la correction pas à pas

On repère : par rapport à $\widehat{B}$ , $AC$ est le côté opposé et $BC$ l'hypoténuse.
Le sinus relie ces deux côtés : $\sin(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{BC}$ .
On remplace : $\sin(35^\circ) = \dfrac{AC}{10}$ .
$AC$ est au numérateur, on multiplie : $AC = 10 \times \sin(35^\circ)$ .
À la calculatrice : $AC \approx 5{,}74$ cm.

$AC \approx 5{,}74$ cm. Ce côté est plus petit que l'hypoténuse de 10 cm, ce qui est normal.

Exercice 3 Le côté adjacent avec la tangente

★☆☆Environ 6 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On donne $AB = 7$ cm et $\widehat{ACB} = 52^\circ$ .

Calcule la longueur $AC$ , arrondie au centième de centimètre.

Indice 1

Cette fois l'angle connu est $\widehat{C}$ . Quel côté est opposé à $\widehat{C}$ ? Lequel est adjacent ?

Indice 2

On ne parle pas de l'hypoténuse : quelle ligne n'utilise que l'opposé et l'adjacent ?

Voir la correction pas à pas

Par rapport à l'angle $\widehat{C}$ : $AB$ est opposé (en face de $C$ ) et $AC$ est adjacent.
La tangente relie l'opposé et l'adjacent : $\tan(\widehat{C}) = \dfrac{AB}{AC}$ .
On remplace : $\tan(52^\circ) = \dfrac{7}{AC}$ .
$AC$ est au dénominateur, on divise : $AC = \dfrac{7}{\tan(52^\circ)}$ .
À la calculatrice : $AC \approx 5{,}47$ cm.

$AC \approx 5{,}47$ cm. Attention : l'angle connu étant $\widehat{C}$ , c'est $AB$ qui est opposé, pas $AC$ .

Exercice 4 Un côté opposé avec la tangente

★★☆Environ 6 min

Le triangle $EFG$ est rectangle en $F$ . On donne $FG = 12$ cm et $\widehat{EGF} = 63^\circ$ .

Calcule la longueur $EF$ , arrondie au centième de centimètre.

Indice 1

Fais un schéma et marque l'angle de $63^\circ$ en $G$ .

Indice 2

$EF$ est en face de l'angle $G$ , $FG$ le touche : quelle ligne utilise opposé et adjacent ?

Voir la correction pas à pas

Par rapport à $\widehat{G}$ : $EF$ est le côté opposé, $FG$ est le côté adjacent.
On utilise la tangente : $\tan(\widehat{G}) = \dfrac{EF}{FG}$ .
On remplace : $\tan(63^\circ) = \dfrac{EF}{12}$ .
$EF$ est au numérateur, on multiplie : $EF = 12 \times \tan(63^\circ)$ .
À la calculatrice : $EF \approx 23{,}55$ cm.

$EF \approx 23{,}55$ cm. Un angle supérieur à $45^\circ$ donne un côté opposé plus long que l'adjacent : le résultat est vraisemblable.

Exercice 5 L'échelle contre le mur

★★☆Environ 8 min

Une échelle de $4{,}5$ m de long est posée contre un mur vertical. Elle forme avec le sol horizontal un angle de $72^\circ$ .

À quelle hauteur du sol l'échelle touche-t-elle le mur ? Arrondis au centième de mètre.

Indice 1

Dessine le triangle rectangle formé par le mur, le sol et l'échelle. Où est l'angle droit ?

Indice 2

L'échelle est l'hypoténuse. La hauteur cherchée est en face de l'angle de $72^\circ$ .

Voir la correction pas à pas

On modélise par un triangle rectangle : l'angle droit est entre le mur et le sol, l'échelle est l'hypoténuse (4,5 m).
Par rapport à l'angle de $72^\circ$ au sol, la hauteur cherchée $h$ est le côté opposé.
On utilise le sinus (opposé, hypoténuse) : $\sin(72^\circ) = \dfrac{h}{4{,}5}$ .
On isole : $h = 4{,}5 \times \sin(72^\circ)$ .
À la calculatrice : $h \approx 4{,}28$ m.
On répond par une phrase : l'échelle touche le mur à environ $4{,}28$ m du sol.

L'échelle atteint environ $4{,}28$ m de hauteur. Cette hauteur est inférieure à la longueur de l'échelle, comme il se doit.

Exercice 6 La hauteur d'un mât

★★★Environ 10 min

Pour mesurer la hauteur d'un mât vertical, Léa se place sur un sol horizontal, à $30$ m du pied du mât. Elle vise le sommet du mât sous un angle de $38^\circ$ au-dessus de l'horizontale. Ses yeux sont à $1{,}6$ m du sol.

Quelle est la hauteur du mât ? Arrondis au centième de mètre.

Indice 1

Le triangle rectangle a pour sommets : les yeux de Léa, le point du mât à la hauteur de ses yeux, et le sommet du mât.

Indice 2

La partie calculée avec la trigonométrie ne part pas du sol mais de la hauteur des yeux : pense à ajouter quelque chose à la fin.

Voir la correction pas à pas

On schématise : l'horizontale à hauteur des yeux mesure $30$ m, l'angle de visée avec l'horizontale est $38^\circ$ . Le triangle est rectangle au pied de la verticale passant par le sommet.
On note $x$ la hauteur du mât au-dessus des yeux de Léa : $x$ est le côté opposé à l'angle de $38^\circ$ , et $30$ m le côté adjacent.
On utilise la tangente : $\tan(38^\circ) = \dfrac{x}{30}$ , donc $x = 30 \times \tan(38^\circ) \approx 23{,}44$ m.
On ajoute la hauteur des yeux : $23{,}44 + 1{,}6 \approx 25{,}04$ m (calcul fait sans arrondi intermédiaire).
On conclut : le mât mesure environ $25{,}04$ m.

Le mât mesure environ $25{,}04$ m. L'oubli de la hauteur des yeux est l'erreur la plus fréquente dans ce type de problème.

Exercice 7 Une base coupée par une hauteur

★★★Environ 12 min

Dans le triangle $ABC$ , la hauteur issue de $A$ coupe le côté $[BC]$ en $H$ , avec $H$ entre $B$ et $C$ . On donne $AH = 6$ cm, $\widehat{ABC} = 50^\circ$ et $\widehat{ACB} = 35^\circ$ .

Calcule la longueur $BC$ , arrondie au centième de centimètre.

Indice 1

La hauteur crée deux triangles rectangles : $ABH$ et $ACH$ , tous deux rectangles en $H$ . Calcule $BH$ et $CH$ séparément.

Indice 2

Dans chacun, $AH$ est le côté opposé à l'angle connu, et $BH$ (ou $CH$ ) est le côté adjacent.

Voir la correction pas à pas

On travaille dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$ : par rapport à $\widehat{B}$ , $AH$ est opposé et $BH$ est adjacent.
$\tan(50^\circ) = \dfrac{AH}{BH}$ , donc $BH = \dfrac{6}{\tan(50^\circ)} \approx 5{,}03$ cm.
On travaille dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ : par rapport à $\widehat{C}$ , $AH$ est opposé et $CH$ est adjacent.
$\tan(35^\circ) = \dfrac{AH}{CH}$ , donc $CH = \dfrac{6}{\tan(35^\circ)} \approx 8{,}57$ cm.
Comme $H$ est entre $B$ et $C$ : $BC = BH + CH = \dfrac{6}{\tan(50^\circ)} + \dfrac{6}{\tan(35^\circ)} \approx 13{,}60$ cm.

$BC \approx 13{,}60$ cm. Quand le triangle n'est pas rectangle, on cherche une hauteur pour se ramener à deux triangles rectangles.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir s'il faut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente ?

Regarde les deux longueurs en jeu : celle que tu connais et celle que tu cherches. Si ce sont l'adjacent et l'hypoténuse, c'est le cosinus. Si ce sont l'opposé et l'hypoténuse, c'est le sinus. Si ce sont l'opposé et l'adjacent, c'est la tangente. La troisième longueur du triangle n'intervient pas.

Pourquoi mon résultat est-il complètement faux alors que ma formule est bonne ?

Le plus souvent, la calculatrice est réglée en radians au lieu des degrés. Calcule $\sin(30^\circ)$ : tu dois obtenir $0{,}5$ . Si ce n'est pas le cas, change le mode. Autre cause fréquente : une division faite à l'envers, par exemple multiplier au lieu de diviser quand la longueur cherchée est au dénominateur.

Que faire si le triangle n'est pas rectangle ?

Les lignes trigonométriques de ce cours ne s'appliquent que dans un triangle rectangle. Si l'énoncé donne une hauteur, ou si tu peux en tracer une, elle découpe le triangle en deux triangles rectangles, comme dans le dernier exercice. Tu calcules alors chaque morceau, puis tu additionnes ou tu soustrais les longueurs.

Sources

Programme visé : Trigonométrie — Calculer une longueur (3e, Mathématiques, DNB) · Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol

Trigonométrie — Calculer une longueur (3e, Mathématiques, DNB), Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Jeu de la trigonométrie — Ressource pédagogique, Édubase — Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Apprendre la trigonométrie — Ressource pédagogique, Édubase — Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Trigonométrie au collège — Ressources pour le cycle 4, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Longueur, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 L'hypoténuse avec le cosinus

Exercice 2 Un côté de l'angle droit avec le sinus

Exercice 3 Le côté adjacent avec la tangente

Exercice 4 Un côté opposé avec la tangente

Exercice 5 L'échelle contre le mur

Exercice 6 La hauteur d'un mât

Exercice 7 Une base coupée par une hauteur

Les questions qu'on se pose

Sources

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