Cosinus, sinus et tangente : cours de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Dans un triangle rectangle, on repère pour un angle aigu l'hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé.
Cosinus = adjacent ÷ hypoténuse ; sinus = opposé ÷ hypoténuse ; tangente = opposé ÷ adjacent.
Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1, car l'hypoténuse est le plus grand côté ; la tangente, elle, peut dépasser 1.
Les côtés « adjacent » et « opposé » changent quand on change d'angle ; l'hypoténuse, jamais.
Méthode : repérer l'angle, nommer les côtés, choisir le rapport selon les deux longueurs en jeu, écrire le quotient, puis calculer.

Pourquoi relier angles et longueurs

Dans un triangle rectangle, les angles et les longueurs des côtés ne sont pas indépendants. Si tu connais un angle aigu, la forme du triangle est fixée : les côtés sont dans des proportions toujours identiques, que le triangle soit grand ou petit. Les mathématiciens ont donné un nom à ces proportions. Ce sont les lignes trigonométriques d'un angle : le cosinus, le sinus et la tangente.

Le programme du cycle 4 demande de connaître et d'utiliser ces trois lignes trigonométriques dans le triangle rectangle ¹. C'est un chapitre qui revient régulièrement au DNB, souvent dans un problème où il faut trouver une hauteur, une distance ou un angle.

À quoi cela sert-il concrètement ? Imagine que tu veuilles connaître la hauteur d'un arbre sans y grimper. Tu t'éloignes, tu mesures la distance qui te sépare du pied de l'arbre et tu estimes l'angle sous lequel tu vois son sommet. Tu obtiens un triangle rectangle dont tu connais un angle et un côté : la trigonométrie te donne le côté qui manque. Même idée pour la pente d'une rampe d'accès ou la longueur d'un câble qui tient un poteau.

Nommer les côtés par rapport à un angle

Tout part d'un triangle rectangle. Prenons le triangle $ABC$ rectangle en $A$ : son angle droit est en $A$ , et ses deux autres angles, $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ , sont aigus, c'est-à-dire plus petits que l'angle droit.

Les trois côtés reçoivent un nom qui dépend de l'angle aigu que tu étudies.

Un triangle rectangle et ses trois côtés · Triangle ABC rectangle en A : [BC] est l'hypoténuse.

Le cosinus d'un angle aigu

Le cosinus est donc un nombre sans unité : tu divises une longueur par une longueur, et les unités se simplifient. Que le triangle soit mesuré en centimètres ou en mètres, le résultat est le même, tant que les deux longueurs sont exprimées dans la même unité.

Le sinus et la tangente

ExempleLes trois rapports dans le même triangle

On garde le triangle $ABC$ rectangle en $A$ avec $AB = 4$ , $AC = 3$ et $BC = 5$ (en cm). Pour l'angle $\widehat{B}$ :

$\cos \widehat{B} = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{5} = 0{,}8 \qquad \sin \widehat{B} = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \qquad \tan \widehat{B} = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{4} = 0{,}75$

Pour l'angle $\widehat{C}$ , on échange les rôles de $[AB]$ et de $[AC]$ :

$\cos \widehat{C} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \qquad \sin \widehat{C} = \frac{4}{5} = 0{,}8 \qquad \tan \widehat{C} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33$

Les trois rapports dans le triangle ABC
Rapport	Formule	Angle B	Angle C
Cosinus	adjacent ÷ hypoténuse	4/5 = 0,8	3/5 = 0,6
Sinus	opposé ÷ hypoténuse	3/5 = 0,6	4/5 = 0,8
Tangente	opposé ÷ adjacent	3/4 = 0,75	4/3 ≈ 1,33

Les trois rapports dans le triangle ABC · Triangle ABC rectangle en A : AB = 4, AC = 3, BC = 5.

Retenir les trois formules

Ce que l'on peut dire des valeurs

Pourquoi ? Dans les deux cas, le dénominateur est l'hypoténuse, qui est le plus long côté du triangle rectangle. Le quotient correspondant a donc un dénominateur plus grand que son numérateur ². Une fraction dont le dénominateur dépasse le numérateur est plus petite que 1.

Résultat pratique : si tu trouves un cosinus de $1{,}2$ ou un sinus de $\frac{7}{5}$ , tu as fait une erreur. Soit tu as inversé le quotient, soit tu as pris un côté de l'angle droit à la place de l'hypoténuse.

Méthode : choisir le bon rapport

Repérer l'angleMarque l'angle aigu étudié sur la figure.
Nommer les côtésHypoténuse, adjacent et opposé à cet angle.
Choisir le rapportQuelles deux longueurs interviennent ? cos, sin ou tan.
Écrire le quotientUtilise les lettres du triangle.
CalculerRemplace par les mesures et divise.

Choisir le bon rapport

ExempleExemple rédigé

Énoncé. Le triangle $EFG$ est rectangle en $E$ , avec $EF = 5$ cm, $EG = 12$ cm et $FG = 13$ cm. Calculer $\sin \widehat{G}$ puis $\tan \widehat{G}$ .

Étape 1 : l'angle étudié est $\widehat{G}$ .

Étape 2 : les côtés. L'hypoténuse est $[FG]$ . Le côté adjacent à $\widehat{G}$ est $[EG]$ . Le côté opposé à $\widehat{G}$ est $[EF]$ .

Étape 3 : les rapports. Pour le sinus, il faut opposé et hypoténuse. Pour la tangente, opposé et adjacent.

Étape 4 : les calculs.

$\sin \widehat{G} = \frac{EF}{FG} = \frac{5}{13} \approx 0{,}38$

$\tan \widehat{G} = \frac{EF}{EG} = \frac{5}{12} \approx 0{,}42$

Contrôle : le sinus est bien compris entre 0 et 1, et le côté opposé est plus court que l'adjacent, donc la tangente est bien inférieure à 1.

Erreurs fréquentes et vérifications

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer un cosinus

★☆☆Environ 5 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm et $BC = 10$ cm. Calcule $\cos \widehat{B}$ .

Indice 1

Repère l'hypoténuse, puis le côté adjacent à l'angle $\widehat{B}$ .

Indice 2

Le cosinus est le quotient adjacent sur hypoténuse.

Voir la correction pas à pas

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit en $A$ : c'est $[BC]$ , qui mesure 10 cm.
Le côté adjacent à $\widehat{B}$ est celui qui touche $B$ sans être l'hypoténuse : c'est $[AB]$ , qui mesure 6 cm.
On écrit le quotient : $\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC}$ .
On remplace par les mesures : $\cos \widehat{B} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$ .

$\cos \widehat{B} = 0{,}6$ . Le résultat est bien compris entre 0 et 1, ce qui est cohérent.

Exercice 2 Calculer une tangente

★☆☆Environ 5 min

Le triangle $RST$ est rectangle en $R$ avec $RS = 8$ cm et $RT = 6$ cm. Calcule $\tan \widehat{S}$ .

Indice 1

La tangente n'utilise pas l'hypoténuse.

Indice 2

Quel côté fait face à l'angle $\widehat{S}$ ?

Voir la correction pas à pas

L'angle droit est en $R$ ; l'angle étudié est $\widehat{S}$ .
Le côté adjacent à $\widehat{S}$ est $[RS]$ , qui touche $S$ : il mesure 8 cm.
Le côté opposé à $\widehat{S}$ est $[RT]$ , en face de $S$ : il mesure 6 cm.
On écrit : $\tan \widehat{S} = \dfrac{RT}{RS} = \dfrac{6}{8} = 0{,}75$ .

$\tan \widehat{S} = 0{,}75$ . Le côté opposé est plus court que le côté adjacent, donc la tangente est inférieure à 1.

Exercice 3 Calculer un sinus

★★☆Environ 8 min

Le triangle $KLM$ est rectangle en $K$ avec $KL = 5$ cm, $KM = 12$ cm et $LM = 13$ cm. Calcule $\sin \widehat{M}$ . Donne la valeur arrondie au dix-millième.

Indice 1

Fais un schéma et colorie l'angle $\widehat{M}$ .

Indice 2

Le côté opposé à $\widehat{M}$ est celui qui ne touche pas $M$ .

Voir la correction pas à pas

L'hypoténuse est $[LM]$ , en face de l'angle droit en $K$ : elle mesure 13 cm.
Le côté opposé à $\widehat{M}$ est $[KL]$ , qui ne touche pas $M$ : il mesure 5 cm.
Le sinus s'écrit : $\sin \widehat{M} = \dfrac{KL}{LM}$ .
On remplace : $\sin \widehat{M} = \dfrac{5}{13} \approx 0{,}3846$ .

$\sin \widehat{M} \approx 0{,}3846$ , valeur comprise entre 0 et 1.

Exercice 4 Repérer une erreur de raisonnement

★★☆Environ 8 min

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ avec $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm et $BC = 5$ cm, Inès affirme que $\sin \widehat{B} = \dfrac{5}{4}$ . Explique pourquoi c'est impossible, puis donne la bonne valeur.

Indice 1

Que sait-on d'un sinus d'angle aigu ?

Indice 2

Quel côté est opposé à $\widehat{B}$ ?

Voir la correction pas à pas

Un sinus d'angle aigu est toujours compris entre 0 et 1, alors que $\dfrac{5}{4} = 1{,}25$ dépasse 1. Le résultat d'Inès est donc impossible.
Son erreur : elle a pris l'hypoténuse au numérateur. Elle a divisé 5 par 4, alors qu'une division par l'hypoténuse est attendue.
Le côté opposé à $\widehat{B}$ est $[AC]$ , qui mesure 4 cm ; l'hypoténuse est $[BC]$ , 5 cm.
Bonne valeur : $\sin \widehat{B} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$ .

Un sinus supérieur à 1 signale toujours une erreur de quotient. La bonne valeur est $\sin \widehat{B} = 0{,}8$ .

Exercice 5 Produit de deux tangentes

★★★Environ 10 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 5$ cm et $AC = 12$ cm. Calcule le produit $\tan \widehat{B} \times \tan \widehat{C}$ . Que remarques-tu ?

Indice 1

Les côtés opposé et adjacent s'échangent quand on passe de $\widehat{B}$ à $\widehat{C}$ .

Indice 2

Écris chaque tangente sous forme de fraction avant de multiplier.

Voir la correction pas à pas

Pour $\widehat{B}$ , le côté opposé est $[AC]$ (12 cm) et le côté adjacent est $[AB]$ (5 cm) : $\tan \widehat{B} = \dfrac{12}{5}$ .
Pour $\widehat{C}$ , le côté opposé est $[AB]$ (5 cm) et le côté adjacent est $[AC]$ (12 cm) : $\tan \widehat{C} = \dfrac{5}{12}$ .
On multiplie : $\tan \widehat{B} \times \tan \widehat{C} = \dfrac{12}{5} \times \dfrac{5}{12} = 1$ .
Remarque : les deux tangentes sont inverses l'une de l'autre, parce que opposé et adjacent échangent leurs rôles.

Le produit vaut 1. Dans un triangle rectangle, les tangentes des deux angles aigus sont inverses l'une de l'autre, ce qui peut servir de contrôle.

Les questions qu'on se pose

Comment ne pas confondre cosinus, sinus et tangente ?

Retiens la suite CAH – SOH – TOA : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent. Entraîne-toi aussi à repérer d'abord les trois côtés sur la figure : une fois bien nommés, le choix du rapport devient presque automatique.

Pourquoi le cosinus et le sinus ne dépassent-ils jamais 1 ?

Parce que leur dénominateur est l'hypoténuse, qui est le plus long côté du triangle rectangle. Le numérateur (adjacent ou opposé) est donc plus petit que le dénominateur, et la fraction est inférieure à 1 ². La tangente n'a pas ce dénominateur, c'est pourquoi elle peut dépasser 1.

Peut-on utiliser ces formules dans n'importe quel triangle ?

Non. Elles ne valent que dans un triangle rectangle, pour un angle aigu ¹. Si le triangle n'a pas d'angle droit, il faut d'abord repérer ou construire un triangle rectangle dans la figure, par exemple en traçant une hauteur.

Pourquoi le résultat n'a-t-il pas d'unité ?

Un cosinus, un sinus ou une tangente est un quotient de deux longueurs exprimées dans la même unité. Les unités se simplifient, il reste un nombre pur. Seule précaution : convertir les deux longueurs dans la même unité avant de diviser.

Ce chapitre tombe-t-il au DNB, et sous quelle forme ?

La trigonométrie du triangle rectangle fait partie du programme de mathématiques du cycle 4 ¹. Elle apparaît souvent dans un problème concret (hauteur, distance, pente) où il faut choisir le bon rapport, puis calculer une longueur ou un angle, thèmes des chapitres suivants. Bien nommer les côtés est la clé pour gagner les points.

Sources

Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Fiches de synthèses des connaissances de mathématiques au collège, Académie d'Aix-Marseille. Consulté le 6 novembre 2026.
Transformées en sinus et en cosinus, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Pourquoi relier angles et longueurs

Nommer les côtés par rapport à un angle

Le cosinus d'un angle aigu

Le sinus et la tangente

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Exercice 2 Calculer une tangente

Exercice 3 Calculer un sinus

Exercice 4 Repérer une erreur de raisonnement

Exercice 5 Produit de deux tangentes

Quiz

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