Cosinus, sinus et tangente : exercices corrigés de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient du côté adjacent par l'hypoténuse ².
Le sinus (côté opposé sur hypoténuse) et la tangente (côté opposé sur côté adjacent) se calculent de la même façon : on repère d'abord le côté opposé, le côté adjacent et l'hypoténuse.
Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1 : le dénominateur est plus grand que le numérateur ².
Pour trouver une longueur, on écrit le rapport qui relie la longueur connue, la longueur cherchée et l'angle, puis on résout l'équation.

Comment utiliser ces exercices

Le programme de mathématiques du cycle 4 demande de connaître et d'utiliser les lignes trigonométriques dans le triangle rectangle : cosinus, sinus et tangente ¹. Ces exercices t'entraînent à les repérer, à les calculer, puis à t'en servir pour trouver une longueur. Ils sont classés du plus simple au plus délicat. Cherche d'abord seul(e), sur ton cahier, avant d'ouvrir les indices, puis la correction.

MéthodeLa méthode en quatre gestes

Repère l'angle aigu dont on parle, puis l'hypoténuse : c'est le côté en face de l'angle droit, toujours le plus long.
Nomme les deux autres côtés par rapport à cet angle : le côté adjacent touche l'angle, le côté opposé lui fait face.
Choisis le rapport qui contient les deux côtés concernés (celui qu'on connaît et celui qu'on cherche).
Écris l'égalité, remplace par les valeurs, puis résous.

Les trois rapports à connaître :

$\cos\widehat{A}=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\qquad \sin\widehat{A}=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\qquad \tan\widehat{A}=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

Le cosinus est bien le quotient du côté adjacent par l'hypoténuse ².

Les exercices

Exercice 1 Calculer les trois rapports d'un angle

★☆☆Environ 6 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm et $BC = 5$ cm.

Calcule $\cos\widehat{ABC}$ , $\sin\widehat{ABC}$ et $\tan\widehat{ABC}$ sous forme de fractions, puis donne la valeur décimale du cosinus.

Indice 1

L'angle droit est en $A$ : quel côté est l'hypoténuse ?

Indice 2

Par rapport à l'angle $\widehat{ABC}$ , le côté $[AB]$ touche l'angle et le côté $[AC]$ lui fait face.

Voir la correction pas à pas

L'angle droit est en $A$ , donc l'hypoténuse est le côté opposé à $A$ : c'est $[BC]$ , qui mesure 5 cm.
Par rapport à l'angle $\widehat{ABC}$ , le côté adjacent est $[AB]$ (3 cm) et le côté opposé est $[AC]$ (4 cm).
Cosinus : $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}$ .
Sinus : $\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}$ .
Tangente : $\tan\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{4}{3}$ .
Valeur décimale du cosinus : $\dfrac{3}{5}=0{,}6$ .

Le cosinus vaut $\dfrac35 = 0{,}6$ , le sinus $\dfrac45$ et la tangente $\dfrac43$ . Les deux premiers sont bien compris entre 0 et 1 ² ; la tangente, elle, peut dépasser 1.

Exercice 2 Choisir le bon rapport

★☆☆Environ 6 min

Le triangle $EFG$ est rectangle en $E$ . On donne $FG = 10$ cm, $EG = 6$ cm et $EF = 8$ cm.

Calcule $\sin\widehat{EFG}$ puis $\cos\widehat{EFG}$ . Donne la valeur décimale du sinus.

Indice 1

Quel côté fait face à l'angle $\widehat{EFG}$ ? C'est celui qui ne touche pas le sommet $F$ .

Indice 2

Le sinus utilise le côté opposé et l'hypoténuse.

Voir la correction pas à pas

L'angle droit est en $E$ : l'hypoténuse est $[FG]$ , soit 10 cm.
Par rapport à l'angle en $F$ , le côté opposé est $[EG]$ (6 cm) et le côté adjacent est $[EF]$ (8 cm).
Sinus : $\sin\widehat{EFG}=\dfrac{EG}{FG}=\dfrac{6}{10}=0{,}6$ .
Cosinus : $\cos\widehat{EFG}=\dfrac{EF}{FG}=\dfrac{8}{10}=0{,}8$ .

$\sin\widehat{EFG}=0{,}6$ et $\cos\widehat{EFG}=0{,}8$ . Les deux nombres sont entre 0 et 1, ce qui est cohérent ².

Exercice 3 Un cosinus peut-il valoir 1,2 ?

★☆☆Environ 5 min

Un élève affirme : « Dans mon triangle rectangle, j'ai trouvé $\cos\widehat{B} = 1{,}2$ . »

Cette valeur est-elle possible ? Explique ce qui a pu se passer et propose une correction de la fraction.

Indice 1

Compare la taille de l'hypoténuse avec celle des deux autres côtés.

Indice 2

Le dénominateur du cosinus est-il plus grand ou plus petit que son numérateur ?

Voir la correction pas à pas

Le cosinus d'un angle aigu est le quotient du côté adjacent par l'hypoténuse ².
L'hypoténuse est le plus long côté du triangle rectangle : le dénominateur est donc plus grand que le numérateur, et le quotient est inférieur à 1 ².
Une valeur de 1,2 est donc impossible.
L'erreur probable : l'élève a inversé la fraction et divisé l'hypoténuse par le côté adjacent. Il faut diviser le côté adjacent par l'hypoténuse.

Un cosinus (ou un sinus) supérieur à 1 signale toujours une fraction à l'envers. Ce contrôle prend dix secondes et évite beaucoup d'erreurs.

Exercice 4 Un rapport dans un triangle moins évident

★★☆Environ 8 min

Le triangle $MNP$ est rectangle en $M$ . On donne $MN = 9$ cm, $MP = 12$ cm et $NP = 15$ cm.

Calcule $\sin\widehat{MNP}$ , $\cos\widehat{MNP}$ et $\tan\widehat{MNP}$ . Donne la valeur décimale du sinus.

Indice 1

Repère d'abord l'hypoténuse, puis place-toi sur le sommet $N$ .

Indice 2

Pour l'angle en $N$ , le côté $[MP]$ est celui d'en face.

Voir la correction pas à pas

L'angle droit est en $M$ : l'hypoténuse est $[NP]$ = 15 cm.
Pour l'angle en $N$ : le côté adjacent est $[MN]$ (9 cm) et le côté opposé est $[MP]$ (12 cm).
$\sin\widehat{MNP}=\dfrac{MP}{NP}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}=0{,}8$ .
$\cos\widehat{MNP}=\dfrac{MN}{NP}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}=0{,}6$ .
$\tan\widehat{MNP}=\dfrac{MP}{MN}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}$ .

On trouve $\sin\widehat{MNP}=0{,}8$ , $\cos\widehat{MNP}=0{,}6$ , $\tan\widehat{MNP}=\dfrac43$ . C'est le même triangle que dans le premier exercice, agrandi : les rapports ne changent pas.

Exercice 5 Calculer une hypoténuse

★★☆Environ 8 min

Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ . On sait que $\sin\widehat{RTS}=0{,}8$ et que $RS = 24$ cm.

Calcule la longueur $RT$ .

Indice 1

Quel côté est l'hypoténuse ? Il s'agit de la longueur cherchée.

Indice 2

Écris $\sin\widehat{RTS}$ sous forme de fraction avec $RS$ et $RT$ , puis résous l'équation.

Voir la correction pas à pas

L'angle droit est en $S$ : l'hypoténuse est $[RT]$ , c'est la longueur cherchée.
Par rapport à l'angle en $T$ , le côté opposé est $[RS]$ (24 cm).
On écrit : $\sin\widehat{RTS}=\dfrac{RS}{RT}$ , donc $0{,}8=\dfrac{24}{RT}$ .
Par produit en croix : $0{,}8\times RT=24$ .
Donc $RT=\dfrac{24}{0{,}8}=30$ cm.

$RT = 30$ cm. Vérification : l'hypoténuse (30 cm) est bien plus longue que l'autre côté connu (24 cm).

Exercice 6 Calculer un côté de l'angle droit avec le cosinus

★★☆Environ 8 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On sait que $\cos\widehat{ABC}=0{,}6$ et que $BC = 20$ cm.

Calcule la longueur $AB$ .

Indice 1

$AB$ est-il le côté adjacent ou le côté opposé à l'angle en $B$ ?

Indice 2

Écris $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}$ puis isole $AB$ .

Voir la correction pas à pas

L'hypoténuse est $[BC]$ et le côté $[AB]$ touche l'angle en $B$ : il est adjacent.
On utilise le cosinus : $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}$ .
On remplace : $0{,}6=\dfrac{AB}{20}$ .
On isole $AB$ : $AB=0{,}6\times 20=12$ cm.

$AB = 12$ cm. Quand l'inconnue est au numérateur, on multiplie ; quand elle est au dénominateur, on divise (voir l'exercice précédent).

Exercice 7 Utiliser la tangente

★★☆Environ 8 min

Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$ . On sait que $\tan\widehat{DEF}=0{,}75$ et que $DE = 16$ cm.

Calcule la longueur $DF$ .

Indice 1

Aucune hypoténuse n'est en jeu ici : quel rapport relie côté opposé et côté adjacent ?

Indice 2

Par rapport à l'angle en $E$ , $[DE]$ est adjacent et $[DF]$ est opposé.

Voir la correction pas à pas

Par rapport à l'angle en $E$ : le côté adjacent est $[DE]$ (16 cm), le côté opposé est $[DF]$ (cherché).
Les deux côtés concernés sont l'opposé et l'adjacent : on utilise la tangente.
$\tan\widehat{DEF}=\dfrac{DF}{DE}$ , donc $0{,}75=\dfrac{DF}{16}$ .
$DF=0{,}75\times16=12$ cm.

$DF = 12$ cm. Ici la tangente est plus petite que 1 parce que le côté opposé est plus court que le côté adjacent.

Exercice 8 Du cosinus au sinus, en passant par une longueur

★★★Environ 12 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $BC = 15$ cm et $\cos\widehat{ABC}=0{,}6$ .

Calcule $AB$ .
Calcule $AC$ à l'aide du théorème de Pythagore.
En déduis $\sin\widehat{ABC}$ .

Indice 1

Pour $AB$ , utilise $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}$ .

Indice 2

Pour $AC$ : $AC^2 = BC^2 - AB^2$ .

Indice 3

Le sinus de l'angle en $B$ utilise le côté $[AC]$ .

Voir la correction pas à pas

Cosinus : $0{,}6=\dfrac{AB}{15}$ , donc $AB=0{,}6\times15=9$ cm.
Le triangle est rectangle en $A$ : $BC^2=AB^2+AC^2$ , donc $AC^2=15^2-9^2=225-81=144$ .
Donc $AC=\sqrt{144}=12$ cm.
Le côté opposé à l'angle en $B$ est $[AC]$ : $\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{15}=0{,}8$ .

On obtient $AB=9$ cm, $AC=12$ cm et $\sin\widehat{ABC}=0{,}8$ . Un seul rapport connu suffit à reconstituer tout le triangle quand on connaît une longueur.

Exercice 9 Problème : la rampe d'accès

★★★Environ 12 min

Une rampe d'accès forme avec le sol horizontal un angle dont la tangente vaut $0{,}15$ . Elle s'étend sur une distance horizontale de $8$ m.

Fais un schéma du triangle rectangle correspondant.
Calcule la hauteur $h$ atteinte par la rampe, en mètres.

Indice 1

Le sol et la verticale forment l'angle droit ; la rampe est l'hypoténuse.

Indice 2

La distance horizontale est le côté adjacent à l'angle formé avec le sol.

Voir la correction pas à pas

Le triangle est rectangle : un côté horizontal (le sol), un côté vertical (la hauteur $h$ ) et la rampe en hypoténuse.
Par rapport à l'angle formé avec le sol, la distance horizontale (8 m) est le côté adjacent et la hauteur $h$ est le côté opposé.
On utilise la tangente : $\tan = \dfrac{h}{8}$ , soit $0{,}15=\dfrac{h}{8}$ .
$h=0{,}15\times8=1{,}2$ m.

La rampe atteint une hauteur de $1{,}2$ m. Le choix du bon rapport s'est fait sans calculer la longueur de la rampe : on n'a utilisé que les deux côtés de l'angle droit.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir s'il faut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente ?

Regarde les deux côtés concernés : celui que tu connais et celui que tu cherches. S'ils sont l'adjacent et l'hypoténuse, c'est le cosinus ². S'ils sont l'opposé et l'hypoténuse, c'est le sinus. S'ils sont l'opposé et l'adjacent, c'est la tangente. Un moyen simple : écris les trois rapports en haut de ta feuille et barre ceux dont un côté n'intervient pas.

Pourquoi mon cosinus ou mon sinus ne doit-il jamais dépasser 1 ?

Parce que ces deux rapports ont l'hypoténuse au dénominateur, et que l'hypoténuse est le plus long côté : le dénominateur est plus grand que le numérateur, donc le quotient est compris entre 0 et 1 ². La tangente n'a pas cette limite, car elle compare deux côtés de l'angle droit.

Que faire quand l'inconnue est au dénominateur ?

Écris l'égalité avec des fractions, puis utilise le produit en croix. Par exemple, de $0{,}8=\dfrac{24}{RT}$ on tire $0{,}8\times RT=24$ , donc $RT=\dfrac{24}{0{,}8}$ . Vérifie ensuite que l'hypoténuse trouvée est bien le plus long côté du triangle.

Sources

Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Fiches de synthèses des connaissances de mathématiques au collège, Académie d'Aix-Marseille. Consulté le 6 novembre 2026.
Transformées en sinus et en cosinus, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Calculer les trois rapports d'un angle

Exercice 2 Choisir le bon rapport

Exercice 3 Un cosinus peut-il valoir 1,2 ?

Exercice 4 Un rapport dans un triangle moins évident

Exercice 5 Calculer une hypoténuse

Exercice 6 Calculer un côté de l'angle droit avec le cosinus

Exercice 7 Utiliser la tangente

Exercice 8 Du cosinus au sinus, en passant par une longueur

Exercice 9 Problème : la rampe d'accès

Les questions qu'on se pose

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