Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fraction peut être négative : le signe se place devant la fraction, et les règles des nombres relatifs s'appliquent aux numérateurs.1
Pour additionner ou soustraire, on met les fractions au même dénominateur, puis on calcule sur les numérateurs et on garde le dénominateur.
Prendre une fraction d'une fraction, c'est multiplier : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.5
Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse ; l'inverse de ba est ab.1
Dans une expression à plusieurs opérations, on suit l'ordre habituel : parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
Introduction : pourquoi réunir fractions et relatifs
Depuis le cycle 3, tu manipules des fractions comme 43 : une quantité obtenue en partageant une unité. En 4e, cette idée s'étend aux nombres relatifs en écriture fractionnaire : on rencontre désormais des nombres comme −32 ou 4−5.1 Le programme demande de savoir calculer la valeur d'expressions comportant plusieurs opérations avec des fractions, et de résoudre des problèmes faisant appel à l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'inverse.1
Ce cours réunit donc deux savoir-faire que tu connais déjà séparément : le calcul sur les relatifs (gestion des signes) et le calcul sur les fractions (dénominateurs, simplification). Tu connais aussi la multiplication de fractions, l'inverse et la division de fractions : on s'en sert ici pour traiter des expressions complètes, où toutes les opérations se mélangent.
Fractions et signes : bien lire une écriture
Rappel : additionner des relatifs
Avant de calculer sur les fractions, il faut être sûr des signes. Le programme attend qu'on sache calculer un enchaînement d'opérations avec des nombres relatifs.1 Dans les évaluations de 4e, les mauvaises réponses à ce type de question viennent souvent d'une mauvaise gestion du signe d'une somme de deux relatifs.6
Démonstration · Pourquoi $(-6)+(-9)=-15$
On part de l'égalité (−6)+(−9)+6+9=0 : chaque nombre est ajouté à son opposé, la somme totale est nulle.5 Donc (−6)+(−9) est le nombre qui, ajouté à 6+9=15, donne 0. C'est l'opposé de 15, soit −15.
Additionner et soustraire des fractions
Les évaluations de 4e testent d'abord l'addition et la soustraction de fractions de même dénominateur, puis de dénominateurs différents mais simples.65
Multiplier : prendre une fraction d'une fraction
Le programme demande de calculer et de représenter la fraction d'une fraction, d'un nombre ou d'une quantité.1 Prendre « les deux tiers de trois quarts », c'est effectuer un produit.
Inverse et division
Le programme demande de définir l'inverse d'un nombre et d'en connaître la notation.1
Expressions à plusieurs opérations
Le programme demande de calculer la valeur d'expressions comportant plusieurs opérations avec des fractions.1 On y applique les mêmes priorités que pour les nombres entiers.
Résoudre un problème avec des fractions
Le programme prévoit de résoudre des problèmes mobilisant les quatre opérations sur les fractions et l'inverse.1 La difficulté est souvent de traduire l'énoncé en calcul. L'évaluation nationale de 4e demande par exemple de traduire une dénomination en langage courant, comme « le tiers », en un calcul.6
Exercices corrigés
Exercice 1 Somme et différence de fractions
★☆☆Environ 6 min
Calcule E=43−65+31 et donne le résultat sous forme de fraction simplifiée, puis en écriture décimale.
Indice 1
Cherche le plus petit multiple commun de 4, 6 et 3.
Voir la correction pas à pas
Le plus petit multiple commun de 4, 6 et 3 est 12.
On réécrit : 43=129, 65=1210, 31=124.
On calcule les numérateurs : 9−10+4=3.
Donc E=123=41=0,25.
Avec un dénominateur commun, la somme se fait sur les numérateurs seuls : E=41.
Exercice 2 Produit et quotient avec des signes
★★☆Environ 8 min
Calcule F=(−32)÷94×(−21). Donne la fraction simplifiée, puis la valeur décimale.
Indice 1
Une division et une multiplication se calculent de gauche à droite.
Indice 2
Remplace la division par une multiplication par l'inverse.
Voir la correction pas à pas
L'inverse de 94 est 49, donc −32÷94=−32×49.
Calcul : −1218=−23.
On multiplie ensuite par −21 : deux facteurs négatifs, le produit est positif.
23×21=43, donc F=43=0,75.
On gère le signe à chaque étape : deux signes moins se compensent, F=43.
Exercice 3 Le réservoir à moitié utilisé
★★★Environ 10 min
Un bassin est rempli aux 53. On vide d'abord les 32 de ce qu'il contient. Quelle fraction du bassin entier reste-t-il ? Donne la valeur décimale.
Indice 1
Calcule d'abord la fraction du bassin qui est vidée.
Indice 2
Ce qu'il reste est ce qu'il y avait moins ce qui a été vidé.
Voir la correction pas à pas
Fraction vidée : 32×53=156=52 du bassin.
Fraction restante : 53−52=51 du bassin.
En décimal : 51=0,2.
Il reste donc le cinquième du bassin.
Le produit donne la part vidée, la soustraction donne la part restante : 51 du bassin.
Quiz
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Deux nombres de même signe : on garde le signe moins et on additionne 6+9=15, donc −15. La réponse −3 vient d'une soustraction faite à tort, comme si les signes étaient différents.5
On multiplie numérateurs et dénominateurs : 126=21. La réponse 75 additionne au lieu de multiplier ; 125 mélange addition et multiplication ; 98 multiplie en croix, ce qui est faux.
L'inverse de ba est ab et le signe est conservé, car le produit −75×(−57) vaut bien 1. Avec 57, le produit vaudrait −1 : c'est l'erreur de changer le signe en inversant.1
Faux : on ne peut pas additionner les dénominateurs. On passe au dénominateur 6 : 63+62=65. Le résultat 52 est même plus petit que 21, ce qui est impossible pour une somme de deux nombres positifs.
Au dénominateur 12 : 1210−129=121≈0,083. Soustraire les numérateurs et les dénominateurs séparément donnerait 22=1, ce qui est faux.
Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse, ici 25. Multiplier par 52 garderait le diviseur tel quel, sans l'inverser ; le signe moins n'a aucune raison d'apparaître.1
Les questions qu'on se pose
Faut-il toujours chercher le plus petit dénominateur commun ?
Non, n'importe quel dénominateur commun donne un résultat juste, par exemple le produit des deux dénominateurs. Mais le plus petit multiple commun garde des nombres petits et limite les erreurs ; il faut simplifier à la fin dans tous les cas.
Peut-on simplifier avant de multiplier deux fractions ?
Oui, et c'est conseillé. Tu peux simplifier un numérateur avec un dénominateur quelconque, même s'ils sont dans des fractions différentes, car le produit se calcule en une seule fraction : b×da×c. Cela évite de manipuler de grands nombres.
Comment savoir si le résultat doit être positif ou négatif ?
Compte les facteurs négatifs d'un produit ou d'un quotient : un nombre pair donne un résultat positif, un nombre impair un résultat négatif. Pour une somme, regarde quelle fraction est la plus grande en valeur sans signe : son signe l'emporte.
Quelle différence entre l'opposé et l'inverse d'un nombre ?
L'opposé de x est le nombre qui, ajouté à x, donne 0 : l'opposé de 32 est −32. L'inverse est le nombre qui, multiplié par x, donne 1 : l'inverse de 32 est 23.1 Le premier change le signe, le second renverse la fraction.