Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
L'inverse d'un nombre non nul x est le nombre qui, multiplié par x, donne 1 ; on le note x1. Zéro n'a pas d'inverse.
L'inverse de ba est ab (avec a et b non nuls) : on échange numérateur et dénominateur.
Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : ba÷dc=ba×cd.
Un entier se voit comme une fraction de dénominateur 1 : 6÷52=6×25.
Dans une expression, on effectue la division avant l'addition ; on simplifie avant de multiplier pour garder des nombres petits.
Pourquoi parler d'inverse et de division de fractions ?
Tu sais déjà additionner, soustraire et multiplier des fractions. Le programme du cycle 4 ajoute la division aux opérations sur les fractions, à côté de la multiplication 1. Il demande aussi de définir l'inverse d'un nombre et de connaître sa notation 1. C'est exactement l'objet de ce cours.
Une question concrète pour commencer : combien de verres de 41 de litre peut-on remplir avec 3 litres de jus ? Tu cherches combien de fois 41 « rentre » dans 3. C'est une division : 3÷41. Et la réponse est 12, parce qu'un litre donne 4 verres, donc trois litres en donnent 3×4.
Tu viens de voir sans le savoir le cœur de la leçon : diviser par 41 revient à multiplier par 4. Nous allons rendre cette idée précise et la généraliser à toutes les fractions.
Une fraction est une division qui n'a pas été effectuée entre deux nombres 4. Ainsi 43 se lit « 3 divisé par 4 ». Garde cette idée en tête : elle explique pourquoi la barre de fraction peut aussi servir à écrire une division, y compris quand les nombres au-dessus et au-dessous sont eux-mêmes des fractions.
L'inverse d'un nombre
Le programme te demande bien de savoir définir l'inverse et de connaître sa notation 1. Retiens donc la phrase « deux nombres sont inverses l'un de l'autre quand leur produit vaut 1 ».
L'inverse d'une fraction
Démonstration · Pourquoi ça marche
On multiplie les deux fractions : ba×ab=b×aa×b. Le numérateur et le dénominateur sont le même nombre a×b, qui est non nul. Le quotient d'un nombre non nul par lui-même vaut 1. Donc le produit vaut 1 : ab est bien l'inverse de ba.
Quelques nombres et leurs inverses
Nombre
Inverse
Produit
3/8
8/3
1
7/2
2/7
1
6
1/6
1
1/9
9
1
-2/5
-5/2
1
Quelques nombres et leurs inverses · Le produit d'un nombre non nul et de son inverse vaut toujours 1.
Diviser par une fraction
La division est l'opération qui « défait » la multiplication. Quand on divise par une fraction, on peut donc la remplacer par une multiplication, à condition d'inverser la fraction qui vient après le signe de division 4. Seule la deuxième fraction est retournée : la première reste telle quelle.
Démonstration · Preuve de la règle
Notons x=ba÷dc. Par définition d'un quotient, x est le nombre qui vérifie
x×dc=ba.
Multiplions les deux membres par l'inverse de dc, c'est-à-dire par cd :
x×dc×cd=ba×cd.
Comme dc×cd=1, on obtient x=ba×cd.
Remplacer ÷ par ×Le signe de division devient un signe de multiplication.
Retourner la 2e fractionSeule la fraction après le signe est inversée.
SimplifierCherche les facteurs communs avant de multiplier.
MultiplierNumérateurs entre eux, dénominateurs entre eux.
Diviser par une fraction en quatre étapes · La méthode se résume à : « × l'inverse ».
Méthode : calculer proprement
Remarque sur l'écriture : la barre de fraction peut elle-même représenter une division. On écrit alors 5432 pour 32÷54. La barre principale, plus longue, indique la division. On rencontre aussi parfois les deux-points pour exprimer un rapport entre deux nombres 4.
Fraction d'une fraction et expressions à plusieurs opérations
Le programme demande de calculer la fraction d'une fraction, d'un nombre ou d'une quantité, et de calculer des expressions comportant plusieurs opérations avec des fractions 1. Voici comment relier ce que tu sais.
Les erreurs fréquentes
Exercices corrigés
Exercice 1 Quotient de deux fractions
★☆☆Environ 5 min
Calcule 43÷85 et donne le résultat sous forme décimale.
Indice 1
Remplace la division par une multiplication par l'inverse de 85.
Indice 2
Simplifie par 4 avant de multiplier si tu le peux.
Voir la correction pas à pas
On remplace la division par la multiplication par l'inverse de la deuxième fraction : 43÷85=43×58.
On simplifie 8 et 4 par 4 : 43×58=1×53×2.
On multiplie : 1×53×2=56.
On convertit : 56=1,2. Contrôle : 43=0,75 est plus grand que 85=0,625, donc le quotient est supérieur à 1.
Le résultat est 56, soit 1,2.
Exercice 2 Des morceaux de ruban
★★☆Environ 8 min
Léa dispose d'un ruban de 12 m. Elle le découpe en morceaux de 43 m chacun. Combien de morceaux obtient-elle ?
Indice 1
Cherche combien de fois 43 m rentre dans 12 m : c'est une division.
Indice 2
Écris 12 sous la forme 112 puis retourne 43.
Voir la correction pas à pas
On cherche combien de fois la longueur 43 m est contenue dans 12 m : on calcule 12÷43.
On remplace par la multiplication par l'inverse : 12÷43=12×34.
On simplifie 12 et 3 par 3 : 12×34=4×4=16.
Contrôle : 16 morceaux de 43 m font 16×43=12 m. Le résultat est juste.
Léa obtient 16 morceaux de ruban.
Exercice 3 Expression avec parenthèses
★★★Environ 10 min
Calcule C=(65−31)÷41. Donne le résultat sous forme d'entier ou de fraction irréductible.
Indice 1
Commence par les parenthèses : mets les deux fractions au même dénominateur.
Indice 2
Diviser par 41 revient à multiplier par 4.
Voir la correction pas à pas
On calcule les parenthèses avec le dénominateur commun 6 : 65−31=65−62=63=21.
On remplace dans l'expression : C=21÷41.
On multiplie par l'inverse de 41, qui est 4 : C=21×4.
On calcule : C=24=2.
On trouve C=2 : le quart « rentre » deux fois dans une moitié.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
L'inverse de 75 est 57, car 75×57=1. Le choix −75 est l'opposé (somme égale à 0), pas l'inverse. Les autres choix ne donnent pas un produit égal à 1.
On écrit 4=14, dont l'inverse est 41 : 4×41=1. Le nombre −4 est l'opposé de 4. Quant à 0,4, il vaut 52 et 4×0,4=1,6, pas 1.
C'est faux : le produit de 0 par n'importe quel nombre vaut 0, jamais 1. L'écriture 01 n'a donc aucun sens, et on ne peut pas diviser par 0.
32÷54=32×45=1210=65. La valeur 158 est le résultat de la multiplication, et non de la division. La valeur 56 est celle de 54÷32, obtenue en retournant la mauvaise fraction.
9÷23=9×32=318=6. Si tu trouves 13,5, tu as multiplié par 23 au lieu de multiplier par son inverse.
Diviser par 41, c'est multiplier par l'inverse de 41, qui est 4. Par exemple, dans 3 litres il y a 12 verres d'un quart de litre. Diviser par 4 ou multiplier par 41 donnerait un résultat plus petit, alors que diviser par une fraction inférieure à 1 agrandit le nombre.
On calcule 53÷72=53×27=1021. Les deux premiers choix sont donc justes. Les deux derniers correspondent à la multiplication 53×72=356, où l'on a oublié d'inverser.
C'est vrai : c'est la définition même de l'inverse. L'erreur tentante serait de penser que ce produit vaut 0, mais cela concerne la somme d'un nombre et de son opposé.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi diviser par une fraction revient-il à multiplier par son inverse ?
Parce que diviser par un nombre, c'est chercher le nombre qui, multiplié par lui, redonne le nombre de départ. En multipliant les deux côtés par l'inverse, on tombe sur la règle. Tu peux aussi le voir avec un exemple : 3 litres contiennent 12 quarts de litre, donc 3÷41=3×4. La division par une fraction est en réalité une division par un nombre, que l'on remplace par la multiplication par son inverse.
Comment savoir quelle fraction retourner ?
Toujours celle qui est après le signe ÷. La première fraction ne bouge pas. Dans ba÷dc, tu retournes dc pour obtenir ba×cd. En cas de doute, contrôle l'ordre de grandeur du résultat.
Que fait-on quand on divise par un entier ?
On écrit l'entier comme une fraction de dénominateur 1, puis on retourne : diviser par 6 revient à multiplier par 61. Ainsi 43÷6=43×61=81.
Faut-il toujours mettre les fractions au même dénominateur ?
Non. C'est utile pour additionner et soustraire, pas pour multiplier ni diviser. Pour une division, tu multiplies par l'inverse, et tu en profites pour simplifier avant de multiplier.
Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ?
Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse, et 0 n'a pas d'inverse : aucun nombre multiplié par 0 ne donne 1. La division par 0 n'est donc pas définie, que ce soit un nombre entier, une fraction de numérateur nul ou le résultat d'un calcul qui vaut 0.
Que faut-il vérifier à la fin d'un calcul de fractions ?
Trois choses : la fraction est-elle simplifiée au maximum ? Le résultat est-il plus grand ou plus petit que 1 comme prévu ? Le produit du quotient par le diviseur redonne-t-il bien le nombre de départ ? Ce dernier contrôle est le plus sûr.