Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Produit de deux fractions : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, ba×dc=b×da×c.
Pas besoin de dénominateur commun pour multiplier : cette étape ne sert qu'à additionner ou soustraire.
Prendre la fraction d'une quantité, c'est multiplier la fraction par cette quantité : 43 de 20 se calcule 43×20.
Simplifie dès que possible, avant ou après le calcul, pour obtenir une fraction plus simple et des nombres plus petits.
Un entier se voit comme une fraction de dénominateur 1 : 5=15.
Ce que tu sais déjà et ce que tu vas apprendre
Au cycle 3, tu as rencontré les fractions comme des parts d'un tout : 43 d'une pizza, 21 d'un litre. En 4e, tu vas plus loin : le programme ajoute la multiplication et la division à ce que tu sais faire avec les fractions.3 Ici, on s'occupe de la multiplication. La division, qui repose sur elle, sera traitée juste après.
Le but est double. Premier objectif : calculer sans hésiter le produit de deux fractions. Second objectif : comprendre pourquoi la règle fonctionne, afin de ne pas la confondre avec celle de l'addition.
Prendre une fraction d'une quantité
Commençons par le cas le plus concret. Dans un paquet de 20 bonbons, on en mange les 43. Combien en reste-t-il à la fin ? Pour répondre, il faut d'abord savoir combien font les 43 de 20.
La règle du produit de deux fractions
Que se passe-t-il quand la quantité elle-même est une fraction ? Par exemple, quelle est la moitié des trois quarts d'une tablette de chocolat ? Il faut prendre une fraction d'une fraction, et la règle de la section précédente s'applique encore : on multiplie.
PréparerÉcris chaque entier sous la forme d'une fraction de dénominateur 1.
NumérateursMultiplie les deux numérateurs entre eux.
DénominateursMultiplie les deux dénominateurs entre eux.
SimplifierDivise haut et bas par leurs diviseurs communs.
Multiplier deux fractions en quatre étapes · Méthode pour calculer le produit de deux fractions.
Pourquoi cette règle est juste : le rectangle
Une règle comprise s'oublie moins. Voici une image qui l'explique, à partir de l'aire d'un rectangle. Une activité classique de 4e utilise ce rectangle pour retrouver la règle du produit.6
Démonstration · Le produit par les aires
Prenons un grand rectangle de longueur L et de largeur ℓ. Son aire est L×ℓ.
Colorions un rectangle plus petit à l'intérieur : sa longueur est la fraction ba de L, et sa largeur est la fraction dc de ℓ.
L'aire du petit rectangle vaut :
(ba×L)×(dc×ℓ)=(ba×dc)×L×ℓ
La fraction de l'aire du grand rectangle qui est coloriée est donc ba×dc.
Par ailleurs, on peut découper la longueur en b parts et la largeur en d parts. Le grand rectangle est alors partagé en b×d petits rectangles identiques, et on en colorie a×c. La fraction coloriée vaut donc aussi b×da×c.
Les deux écritures décrivent la même fraction, d'où la règle ba×dc=b×da×c.
Simplifier : avant ou après le calcul
Une fraction s'écrit de plusieurs façons. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction.5 Par exemple, 21=63. Quand on lit cette égalité de droite à gauche, on simplifie : on divise le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun.
Le programme cite un cas typique : le numérateur et le dénominateur appartiennent à une même table de multiplication, comme 12 et 18 dans la table de 6.3 Avec un produit de fractions, ce réflexe est précieux : on repère vite les nombres qui s'éliminent.
Entiers, plusieurs facteurs et problèmes
Les mêmes idées s'étendent à des situations plus variées. Le programme attend d'ailleurs qu'on sache résoudre des problèmes faisant appel à des fractions, et calculer des expressions comportant plusieurs opérations.3
Erreurs fréquentes et méthode de contrôle
Exercices corrigés
Exercice 1 Produit avec simplification
★☆☆Environ 6 min
Calcule le produit 1514×2125 et donne le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée, puis sa valeur décimale arrondie au millième.
Indice 1
Décompose chaque nombre en produit de facteurs plus petits.
Indice 2
Cherche les facteurs qui apparaissent à la fois en haut et en bas.
Voir la correction pas à pas
On écrit le produit en une seule fraction : 15×2114×25.
On décompose : 14=2×7, 25=5×5, 15=3×5, 21=3×7.
On simplifie par 7 et par 5 : 3×32×5.
On calcule : 910.
Valeur décimale : 10÷9≈1,111.
Le produit vaut 910, soit environ 1,111. Le résultat est supérieur à 1 : 1514 est un peu inférieur à 1, mais 2125 est nettement supérieur à 1, et c'est ce second facteur qui l'emporte.
Exercice 2 Les cinq huitièmes d'un effectif
★★☆Environ 6 min
Dans un collège, 144 élèves participent à une sortie. Les 85 d'entre eux voyagent en car. Combien d'élèves voyagent en car ?
Indice 1
« Les cinq huitièmes de 144 » se traduit par une multiplication.
Indice 2
Tu peux d'abord diviser 144 par 8.
Voir la correction pas à pas
Prendre une fraction d'un nombre revient à multiplier : on calcule 85×144.
On écrit 144=1144, donc 8×15×144=8720.
On calcule 720÷8=90.
Contrôle : 144÷8=18 élèves par huitième, et 5×18=90.
90 élèves voyagent en car. Les deux méthodes donnent le même nombre, ce qui valide le résultat.
Exercice 3 Une fraction d'une fraction d'une quantité
★★★Environ 10 min
Un sac contient 450 g de farine. On en utilise les 32 pour une pâte, puis on prend les 53 de la farine utilisée pour une garniture. Quelle masse de farine sert à la garniture ? Calcule d'abord en deux étapes, puis vérifie en un seul produit.
Indice 1
Calcule d'abord la masse utilisée pour la pâte.
Indice 2
Pour la vérification, multiplie les trois facteurs et simplifie.
Voir la correction pas à pas
Farine utilisée : 32×450=3900=300 g.
Garniture : 53×300=5900=180 g.
Vérification en un produit : 53×32×450=5×33×2×450.
On simplifie par 3 : 52×450=5900=180 g.
La garniture reçoit 180 g de farine. Les deux chemins aboutissent au même résultat : la fraction 53×32 vaut 52, et les 52 de 450 g font bien 180 g.
Quiz
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On multiplie les numérateurs (3×2=6) et les dénominateurs (4×5=20) : 206=103. Le résultat 95 vient d'une addition des numérateurs et des dénominateurs, ce qui n'a aucun sens ici. Le résultat 56 oublie de multiplier les dénominateurs, et 96 mélange les deux opérations.
Prendre la fraction d'un nombre revient à multiplier : 32×15=330=10. Calculer 15÷3×2 donne le même résultat. Ajouter 32 à 15 serait une erreur : le mot « de » annonce une multiplication.
C'est faux : le dénominateur commun sert à additionner ou soustraire. Pour multiplier, on multiplie directement les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Chercher un dénominateur commun n'est pas faux en soi, mais c'est inutile et ne doit surtout pas conduire à garder ce dénominateur.
On calcule 9×46×3=3618=21. On peut aussi simplifier avant : 96=32, puis 32×43=42=21. Les réponses 139 et 1318 viennent d'une addition des dénominateurs, et 32 ne tient pas compte du second facteur.
Une fraction est un quotient : le nombre qui, multiplié par 7, donne 3 est 73, car 7×73=3. La fraction 37 est l'inverse, et 7×37 vaut 349, pas 3. Les nombres 21 et 4 correspondent à une multiplication ou à une soustraction, pas à un quotient.
On calcule 5×84×5=4020=21=0,5. Le facteur 5 se simplifie directement, puis 84=21. Si on obtient 0,8 ou 0,625, on a oublié de multiplier par l'autre fraction.
C'est faux : le produit est inférieur à chacune. Par exemple 21×43=83, qui est plus petit que 21 et que 43. On prend une partie d'une partie, donc le résultat diminue. L'idée contraire vient de l'habitude des entiers, où multiplier agrandit.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi le produit de deux fractions est-il parfois plus petit que les fractions de départ ?
Multiplier par une fraction inférieure à 1, c'est en prendre une partie. Les 21 de 43 sont forcément plus petits que 43. Avec les entiers, multiplier agrandit presque toujours, mais ce n'est plus vrai avec des nombres inférieurs à 1.
Faut-il toujours simplifier le résultat ?
Oui, on donne en général la fraction sous sa forme la plus simple. Pour la trouver, divise le numérateur et le dénominateur par leurs diviseurs communs, jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus. Simplifier avant de multiplier est souvent plus pratique, car les nombres restent petits.
Comment multiplier une fraction par un entier ?
Écris l'entier comme une fraction de dénominateur 1, puis applique la règle. Par exemple 73×4=73×14=712. En pratique, tu multiplies le numérateur par l'entier et tu gardes le dénominateur.
Comment savoir si je dois multiplier ou additionner dans un problème ?
Si l'énoncé demande « la fraction d'une quantité » (« les 52 de… »), tu multiplies. Si l'énoncé réunit deux parts d'un même tout, tu additionnes. Un test utile : prendre une fraction inférieure à 1 d'une quantité donne moins que cette quantité, alors que réunir deux parts donne plus que chacune d'elles.
Quel est le lien avec la division de fractions ?
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.2 Cette idée fait l'objet du cours suivant. Maîtriser la multiplication est donc indispensable : toute division de fractions se transforme ensuite en un produit.