Multiplication de fractions : exercices corrigés de 4e

On applique la règle : $\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{2 \times 5}{3 \times 7}$.

On calcule le numérateur : $2 \times 5 = 10$.

On calcule le dénominateur : $3 \times 7 = 21$.

On obtient $\frac{10}{21}$. Cette fraction ne se simplifie pas : 10 et 21 n'ont aucun diviseur commun autre que 1.

Valeur approchée : $\frac{10}{21} \approx 0{,}476$.

On écrit le produit : $\frac{3 \times 8}{4 \times 9}$.

On décompose pour repérer les facteurs communs : $\frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{3 \times 2 \times 4}{4 \times 3 \times 3}$.

On simplifie par 3 et par 4 en haut et en bas : il reste $\frac{2}{3}$.

Contrôle sans simplifier d'abord : $\frac{24}{36}$, et en divisant par 12 on retrouve $\frac{2}{3}$.

Valeur approchée : $\frac{2}{3} \approx 0{,}667$.

On traduit « les $\frac{3}{5}$ de 120 » par un produit : $\frac{3}{5} \times 120$.

On écrit 120 comme une fraction : $\frac{3}{5} \times \frac{120}{1} = \frac{3 \times 120}{5 \times 1}$.

On calcule : $\frac{360}{5}$.

On divise : $360 \div 5 = 72$.

Autre chemin, plus rapide : $120 \div 5 = 24$ (un cinquième), puis $24 \times 3 = 72$ (trois cinquièmes).

On regroupe : $\frac{5 \times 3 \times 4}{6 \times 10 \times 9}$.

On décompose chaque nombre : $\frac{5 \times 3 \times 2 \times 2}{2 \times 3 \times 2 \times 5 \times 3 \times 3}$.

Au numérateur, il y a un 5, un 3 et deux 2. Au dénominateur, il y a deux 2, trois 3 et un 5.

On simplifie le 5, le 3 et les deux 2 : il reste au numérateur 1, au dénominateur $3 \times 3 = 9$.

Le résultat est $\frac{1}{9}$. Contrôle : $\frac{60}{540}$, et $540 = 60 \times 9$.

Valeur approchée : $\frac{1}{9} \approx 0{,}111$.

Élèves à la cantine : $\frac{3}{7} \times 28 = \frac{3 \times 28}{7} = \frac{84}{7} = 12$.

Parmi ces 12 élèves, un quart choisit le menu végétarien : $\frac{1}{4} \times 12 = \frac{12}{4} = 3$.

Vérification en une seule ligne : la part de la classe est $\frac{3}{7} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{28}$.

Alors $\frac{3}{28} \times 28 = 3$, ce qui confirme le résultat.

Aire du potager : $\frac{3}{5} \times 900 = \frac{2700}{5} = 540$ m².

Aire plantée de légumes : $\frac{2}{3} \times 540 = \frac{1080}{3} = 360$ m².

Contrôle par la fraction du jardin : $\frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$.

Puis $\frac{2}{5} \times 900 = \frac{1800}{5} = 360$ m².

Le résultat 6 est impossible : multiplier deux fractions plus petites que 1 donne un nombre plus petit que chacune d'elles.

L'erreur : Léa n'a gardé qu'un seul dénominateur 20 au lieu de multiplier 20 par 20. Dans un produit, les dénominateurs se multiplient eux aussi, et la mise au même dénominateur est inutile.

Bonne méthode : $\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{6}{20}$.

On simplifie par 2 : $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

Valeur décimale : $\frac{3}{10} = 0{,}3$.

Par définition du quotient, $\frac{3}{7}$ est le nombre qui, multiplié par 7, donne 3. Donc $7 \times \frac{3}{7} = 3$. ³

Vérification avec la règle : $\frac{7}{1} \times \frac{3}{7} = \frac{21}{7} = 3$.

Pour la question 2 : $7 \times \frac{3}{14} = \frac{7 \times 3}{1 \times 14} = \frac{21}{14}$.

On simplifie par 7 : $\frac{21}{14} = \frac{3}{2}$.

Valeur décimale : $\frac{3}{2} = 1{,}5$.