Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme : cours de 4e

En géométrie, une figure dessinée ne prouve rien. Sur un dessin, deux côtés peuvent sembler parallèles alors qu'ils ne le sont pas du tout. Une figure faite à main levée, comme celles des exercices de raisonnement², sert à réfléchir, pas à conclure. Pour affirmer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, il faut donc un raisonnement appuyé sur des données de l'énoncé et sur une propriété du cours.

Dans ce cours, tu apprends à choisir la bonne propriété, à vérifier ses conditions une par une, puis à rédiger une démonstration propre. Au cycle 4, les propriétés des parallélogrammes sont établies avec des arguments précis et on t'entraîne à démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme en t'appuyant sur une propriété caractéristique¹.

Quand les deux paires de côtés opposés sont parallèles, tu peux conclure directement, sans autre propriété. C'est le premier outil de ta boîte, mais il est parfois difficile à utiliser : montrer un parallélisme demande souvent des angles ou une autre figure. Les propriétés suivantes offrent d'autres chemins.

Une propriété caractéristique fonctionne dans les deux sens : si le quadrilatère est un parallélogramme, elle est vraie ; et si elle est vraie pour un quadrilatère, alors c'est un parallélogramme. On s'en sert pour démontrer qu'une figure est un parallélogramme¹. Ces propriétés s'appuient sur le demi-tour, c'est-à-dire la symétrie centrale¹.

Pourquoi les diagonales ? Imagine un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$. Un demi-tour autour de $O$ envoie $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$¹. Donc $O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$. Les diagonales ont le même milieu. La propriété 3 est la réciproque de ce constat.

Une démonstration correcte suit toujours la même logique en trois temps. On l'appelle parfois le pas de déduction.

Remarque que cette rédaction est courte. Une bonne démonstration n'a pas besoin d'être longue : elle doit être complète et juste. Chaque donnée de l'énoncé a un rôle, et si une donnée ne sert pas, c'est souvent le signe que tu n'as pas choisi la propriété la mieux adaptée.

Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme est souvent une étape. Une fois la preuve faite, tu disposes de toutes ses propriétés : côtés opposés parallèles et de même longueur, angles opposés égaux, diagonales de même milieu. Cela permet ensuite de prouver un parallélisme, une égalité de longueurs ou de calculer un périmètre. Les raisonnements sur les figures, comme ceux proposés avec un parallélogramme $RSTU$ dessiné à main levée², s'enchaînent de cette façon : une conclusion devient la donnée de l'étape suivante.

Cette notion prépare aussi l'étude des parallélogrammes particuliers. Le rectangle, par exemple, se définit comme un parallélogramme qui a un angle droit¹. Savoir démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme est donc la première marche avant de prouver qu'il est un rectangle.