Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme : exercices de 4e

Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux : c'est sa définition ¹.
Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on s'appuie sur la définition ou sur une propriété caractéristique ¹.
Une démonstration suit toujours le même fil : ce que l'on sait, la propriété utilisée, la conclusion.
Avant de conclure, vérifie que les hypothèses viennent de l'énoncé, pas du dessin, et, quand la propriété l'exige, que le quadrilatère est non croisé.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices t'entraînent à rédiger une démonstration, pas seulement à deviner qu'une figure « ressemble » à un parallélogramme. Un dessin fait à main levée peut tromper : sur une figure de ce genre, c'est l'énoncé qui dit que RSTU est un parallélogramme, pas l'œil ². Seules les informations écrites comptent.

Les exercices

Exercice 1 Avec la définition

★☆☆Environ 5 min

Dans le quadrilatère $ABCD$ , on sait que $(AB)$ est parallèle à $(DC)$ et que $(AD)$ est parallèle à $(BC)$ .

Démontre que $ABCD$ est un parallélogramme.

Indice 1

Relis la définition : que doivent faire les côtés opposés ?

Indice 2

Repère quelles droites portent les côtés opposés $[AB]$ et $[DC]$ , puis $[AD]$ et $[BC]$ .

Voir la correction pas à pas

On sait que $(AB)\parallel(DC)$ : les côtés opposés $[AB]$ et $[DC]$ sont donc parallèles.
On sait aussi que $(AD)\parallel(BC)$ : les côtés opposés $[AD]$ et $[BC]$ sont parallèles.
Les côtés opposés de $ABCD$ sont parallèles deux à deux : c'est la définition du parallélogramme ¹.

Donc $ABCD$ est un parallélogramme. Ici, aucune autre propriété n'est nécessaire : la définition suffit.

Exercice 2 Diagonales de même milieu

★☆☆Environ 6 min

Les diagonales $[EG]$ et $[FH]$ du quadrilatère $EFGH$ se coupent en $O$ . On sait que $O$ est le milieu de $[EG]$ et de $[FH]$ , et que $EG = 12$ cm.

Démontre que $EFGH$ est un parallélogramme.
Calcule la longueur $OG$ .

Indice 1

Les deux diagonales ont-elles le même milieu ?

Indice 2

Pour $OG$ , utilise le fait que $O$ est le milieu de $[EG]$ .

Voir la correction pas à pas

Les diagonales $[EG]$ et $[FH]$ ont toutes deux pour milieu le point $O$ .
Un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme (propriété caractéristique) ¹.
$O$ est le milieu de $[EG]$ , donc $OG = \dfrac{EG}{2}$ .
$OG = \dfrac{12}{2} = 6$ cm.

$EFGH$ est un parallélogramme et $OG = 6$ cm.

Exercice 3 Côtés opposés de même longueur

★★☆Environ 8 min

$ABCD$ est un quadrilatère non croisé tel que $AB = DC = 4{,}5$ cm et $AD = BC = 3$ cm.

Démontre que $ABCD$ est un parallélogramme.
Calcule son périmètre.

Indice 1

Regarde les côtés opposés : sont-ils égaux deux à deux ?

Indice 2

Le périmètre est la somme des quatre côtés.

Voir la correction pas à pas

Les côtés opposés $[AB]$ et $[DC]$ ont la même longueur, $4{,}5$ cm.
Les côtés opposés $[AD]$ et $[BC]$ ont la même longueur, $3$ cm.
Le quadrilatère est non croisé et ses côtés opposés sont égaux deux à deux : c'est donc un parallélogramme ¹.
Périmètre : $AB + BC + CD + DA = 4{,}5 + 3 + 4{,}5 + 3 = 15$ cm.

$ABCD$ est un parallélogramme de périmètre $15$ cm. Le mot « non croisé » fait partie des conditions : ne l'oublie pas dans ta rédaction.

Exercice 4 Deux côtés parallèles et égaux

★★☆Environ 8 min

$ABCD$ est un quadrilatère non croisé. On sait que $(AB)\parallel(DC)$ et que $AB = DC$ .

Démontre que $ABCD$ est un parallélogramme, puis explique pourquoi il serait faux de conclure si l'on savait seulement que $AB = DC$ .

Indice 1

Cette propriété demande deux informations sur la même paire de côtés opposés.

Indice 2

Imagine un quadrilatère dont deux côtés opposés sont égaux, mais pas parallèles.

Voir la correction pas à pas

Les côtés opposés $[AB]$ et $[DC]$ sont parallèles : $(AB)\parallel(DC)$ .
Ces mêmes côtés ont la même longueur : $AB = DC$ .
Le quadrilatère étant non croisé, deux côtés opposés parallèles et de même longueur suffisent : $ABCD$ est un parallélogramme ¹.
Si l'on savait seulement $AB = DC$ , on ne saurait rien du parallélisme : un quadrilatère peut avoir deux côtés opposés égaux sans être un parallélogramme (un trapèze isocèle, par exemple). La propriété exige donc les deux informations.

$ABCD$ est un parallélogramme. Une propriété caractéristique s'applique avec toutes ses conditions.

Exercice 5 Construire un symétrique

★★★Environ 10 min

$ABC$ est un triangle. $I$ est le milieu de $[AC]$ . Le point $D$ est le symétrique de $B$ par rapport à $I$ . On donne $BI = 3{,}2$ cm.

Démontre que $ABCD$ est un parallélogramme.
Calcule la longueur $BD$ .

Indice 1

Que signifie « $D$ est le symétrique de $B$ par rapport à $I$ » pour le point $I$ et le segment $[BD]$ ?

Indice 2

Quelles sont les diagonales de $ABCD$ ?

Voir la correction pas à pas

Les diagonales de $ABCD$ sont $[AC]$ et $[BD]$ .
$I$ est le milieu de $[AC]$ par hypothèse.
$D$ est le symétrique de $B$ par rapport à $I$ : $I$ est donc aussi le milieu de $[BD]$ .
Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $I$ : $ABCD$ est un parallélogramme ¹.
$I$ est le milieu de $[BD]$ , donc $BD = 2 \times BI = 2 \times 3{,}2 = 6{,}4$ cm.

$ABCD$ est un parallélogramme et $BD = 6{,}4$ cm.

Exercice 6 Repérer l'erreur d'un raisonnement

★★★Environ 10 min

Léa écrit : « Dans le quadrilatère $ABDC$ , on a $AB = CD$ et $AC = BD$ . Donc $ABDC$ est un parallélogramme. »

On sait que les côtés $[AB]$ et $[DC]$ se croisent, de sorte que $ABDC$ est un quadrilatère croisé.

Explique pourquoi la conclusion de Léa n'est pas justifiée.
Quelle information faut-il ajouter pour que sa propriété s'applique ?
Rédige la démonstration correcte pour un quadrilatère $ABDC$ non croisé.

Indice 1

Relis les conditions de la propriété des côtés opposés égaux.

Indice 2

Dans un quadrilatère croisé, deux côtés opposés se coupent, comme dans un « nœud papillon ».

Voir la correction pas à pas

La propriété des côtés opposés égaux deux à deux ne s'applique qu'à un quadrilatère non croisé.
Ici $ABDC$ est croisé : une condition manque, donc la conclusion de Léa n'est pas justifiée.
Il faut ajouter que $ABDC$ est un quadrilatère non croisé.
Rédaction : $ABDC$ est non croisé ; $AB = CD$ et $AC = BD$ , donc ses côtés opposés sont égaux deux à deux ; $ABDC$ est donc un parallélogramme ¹.

Dans une démonstration, vérifier les conditions d'une propriété est aussi important que de la citer.

Les questions qu'on se pose

Puis-je utiliser une propriété qui ressemble à la bonne ?

Non. Une propriété caractéristique s'applique seulement si toutes ses conditions sont réunies ¹. Vérifie chaque mot : « non croisé », « même milieu », « parallèles et égaux » sur les mêmes côtés.

Mesurer à la règle suffit-il pour justifier un parallélogramme ?

Non. Une mesure sur un dessin est approximative, et la figure est souvent faite à main levée ². Une démonstration repose uniquement sur les données de l'énoncé et sur des propriétés du cours.

Sources

Mathématiques — Exemples pour la mise en œuvre des programmes 2026, Cycle 4, Éduscol. Consulté le 12 novembre 2026.
Mathématiques — Élaborer un raisonnement à partir d'une figure, Éduscol. Consulté le 12 novembre 2026.

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Exercice 1 Avec la définition

Exercice 2 Diagonales de même milieu

Exercice 3 Côtés opposés de même longueur

Exercice 4 Deux côtés parallèles et égaux

Exercice 5 Construire un symétrique

Exercice 6 Repérer l'erreur d'un raisonnement

Les questions qu'on se pose

Sources

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