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Mathématiques · 4e

Parallélogrammes particuliers : cours de 4e

Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles deux à deux ; ses diagonales se coupent en leur milieu.45
  • Le losange, le rectangle et le carré sont des parallélogrammes ; le trapèze n'en est pas un.4
  • Un losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur : ses quatre côtés sont alors égaux.5
  • Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit : ses quatre angles sont alors droits, et ses diagonales ont la même longueur.56
  • Pour démontrer, pars d'un parallélogramme déjà établi, ajoute la propriété qui caractérise la figure (côtés ou diagonales), puis conclus.1

Introduction : une famille de quadrilatères

Tu connais déjà le parallélogramme et tu sais démontrer qu'un quadrilatère en est un. Dans ce chapitre, on va plus loin : on s'intéresse aux parallélogrammes qui ont quelque chose en plus. Ce sont le losange, le rectangle et le carré.

Le programme du cycle 4 demande deux choses : exploiter le codage d'une figure pour repérer ces parallélogrammes particuliers, et savoir reconnaître l'un d'eux à partir de ses propriétés caractéristiques, celles des côtés opposés et des diagonales.1 C'est donc un chapitre où l'on démontre : on part de ce qu'on sait, on applique une propriété, on conclut.

Une image aide à comprendre l'idée. Pour un professeur de l'IREM de Lille, on peut voir le parallélogramme comme un objet de base, auquel on ajoute des options pour obtenir les autres figures.4 Un parallélogramme « de série » a déjà des propriétés. Pour obtenir un losange, un rectangle ou un carré, il faut une condition supplémentaire.

Rappels sur le parallélogramme

Le losange

Démonstration · Pourquoi les quatre côtés sont égaux

Soit ABCDABCD un parallélogramme tel que AB=BCAB = BC.

  1. ABCDABCD est un parallélogramme : ses côtés opposés ont la même longueur, donc AB=CDAB = CD et BC=ADBC = AD.5
  2. Par hypothèse, AB=BCAB = BC.
  3. On enchaîne : AB=BCAB = BC, AB=CDAB = CD et BC=ADBC = AD. Les quatre longueurs sont donc égales.

Ainsi, il suffit d'un seul couple de côtés consécutifs égaux pour que les quatre côtés le soient.

Démonstration · Pourquoi les diagonales d'un losange sont perpendiculaires

Soit ABCDABCD un losange de centre OO, point d'intersection de ses diagonales.

  1. OO est le milieu de [BD][BD], car ABCDABCD est un parallélogramme.5
  2. AB=ADAB = AD : le triangle ABDABD est isocèle en AA.
  3. Dans un triangle isocèle, la droite qui joint le sommet principal au milieu de la base est perpendiculaire à cette base. Donc (AO)⊥(BD)(AO) \perp (BD).
  4. Les points AA, OO et CC sont alignés, donc (AC)⊥(BD)(AC) \perp (BD).

Le rectangle

Démonstration · Pourquoi un seul angle droit suffit

Soit ABCDABCD un parallélogramme avec A^=90∘\widehat{A} = 90^\circ.

  1. Les angles A^\widehat{A} et B^\widehat{B} se suivent : ils sont supplémentaires.5 Donc B^=180∘−90∘=90∘\widehat{B} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ.
  2. De la même façon, C^=180∘−90∘=90∘\widehat{C} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ, puis D^=90∘\widehat{D} = 90^\circ.

Les quatre angles sont donc droits.

Le carré : à la fois losange et rectangle

Le losange, le rectangle et le carré sont des parallélogrammes.4 Le carré cumule les deux options : c'est un parallélogramme qui a un angle droit et deux côtés consécutifs égaux. Il est donc à la fois un rectangle et un losange.

On en déduit toutes ses propriétés :

  • quatre côtés égaux, comme le losange ;5
  • quatre angles droits, comme le rectangle ;5
  • diagonales de même longueur, comme le rectangle ;6
  • diagonales perpendiculaires, comme le losange ;
  • diagonales qui se coupent en leur milieu, comme tout parallélogramme.5
Les parallélogrammes particuliers en un coup d'œil
FigureCôtésAnglesDiagonales
ParallélogrammeOpposés parallèles et égauxConsécutifs supplémentairesSe coupent en leur milieu
LosangeQuatre côtés égauxPas forcément droitsMilieu commun, perpendiculaires
RectangleOpposés égauxQuatre angles droitsMilieu commun, même longueur
CarréQuatre côtés égauxQuatre angles droitsMilieu commun, même longueur, perpendiculaires
Les parallélogrammes particuliers en un coup d'œil · Losange et rectangle reprennent les propriétés du parallélogramme ; le carré cumule celles du losange et du rectangle.

Comment démontrer qu'un parallélogramme est particulier

Le programme demande de reconnaître un parallélogramme particulier à partir de ses propriétés caractéristiques.1 En pratique, une démonstration suit toujours le même fil. Les enseignants de l'IREM de Grenoble insistent sur ce travail de mise en forme d'une démonstration en 4e.3

Reconnaître un parallélogramme particulier
Je sais que c'est un parallélogramme et que…Alors c'est un…
deux côtés consécutifs ont la même longueurlosange
il a un angle droitrectangle
il a un angle droit et deux côtés consécutifs égauxcarré
Reconnaître un parallélogramme particulier · La condition vient toujours après le parallélogramme. On peut aussi conclure avec les diagonales : perpendiculaires pour un losange, de même longueur pour un rectangle.

Exercices corrigés

Exercice 1 Les diagonales d'un rectangle

★☆☆Environ 5 min

ABCDABCD est un rectangle. Sa diagonale [AC][AC] mesure 1313 cm. Quelle est la longueur de la diagonale [BD][BD], en cm ?

Indice 1

Que sais-tu des diagonales d'un rectangle ?

Voir la correction pas à pas

  1. Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur.

  2. Donc BD=ACBD = AC.

  3. On obtient BD=13BD = 13 cm.

Cette propriété permet de trouver une longueur sans aucun calcul.

Exercice 2 Périmètre d'un losange

★☆☆Environ 5 min

ABCDABCD est un parallélogramme avec AB=4,5AB = 4{,}5 cm et BC=4,5BC = 4{,}5 cm. Montre que c'est un losange, puis calcule son périmètre en cm.

Indice 1

Quels côtés sont consécutifs ?

Indice 2

Combien de côtés ont la même longueur dans un losange ?

Voir la correction pas à pas

  1. ABCDABCD est un parallélogramme et [AB][AB], [BC][BC] sont consécutifs de même longueur.

  2. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux est un losange : ABCDABCD est un losange.

  3. Un losange a quatre côtés égaux, donc chaque côté mesure 4,54{,}5 cm.

  4. Périmètre : 4×4,5=184 \times 4{,}5 = 18 cm.

Le périmètre d'un losange vaut quatre fois la longueur de son côté.

Exercice 3 Angles et nature d'un parallélogramme

★★☆Environ 8 min

ABCDABCD est un parallélogramme. L'angle A^\widehat{A} mesure 65∘65^\circ.

  1. Calcule la mesure de B^\widehat{B} en degrés.
  2. Le quadrilatère ABCDABCD peut-il être un rectangle ? Justifie.
Indice 1

Deux angles qui se suivent sont supplémentaires.

Indice 2

Combien d'angles droits faut-il pour un rectangle ?

Voir la correction pas à pas

  1. Les angles A^\widehat{A} et B^\widehat{B} se suivent : leur somme vaut 180∘180^\circ.

  2. B^=180∘−65∘=115∘\widehat{B} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ.

  3. Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit, donc tous ses angles mesurent 90∘90^\circ.

  4. Ici A^=65∘\widehat{A} = 65^\circ et B^=115∘\widehat{B} = 115^\circ : aucun angle n'est droit, donc ABCDABCD n'est pas un rectangle.

La mesure de B^\widehat{B} est de 115∘115^\circ et ABCDABCD n'est pas un rectangle.

Quiz

6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

  1. Quel quadrilatère n'est pas un parallélogramme ?

  2. Un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur. C'est forcément :

  3. Un parallélogramme possède un angle droit. Combien d'angles droits a-t-il au total ?

  4. Dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur.

  5. Un losange est toujours un carré.

  6. ABCDABCD est un rectangle avec AB=6AB = 6 cm et BC=8BC = 8 cm. Quelle est la longueur de la diagonale [AC][AC], en cm ?

Les questions qu'on se pose

Un carré est-il un rectangle ?

Oui. Un carré est un parallélogramme qui a un angle droit, donc c'est un rectangle.5 Il a en plus quatre côtés égaux, donc c'est aussi un losange.

Quelle différence entre un losange et un rectangle ?

Le losange a quatre côtés égaux.5 Le rectangle a quatre angles droits.5 Un losange n'a pas forcément d'angle droit, et un rectangle n'a pas forcément quatre côtés égaux.

Que dois-je écrire pour démontrer qu'un quadrilatère est un losange ?

Écris d'abord que c'est un parallélogramme, et justifie-le. Ajoute ensuite que deux côtés consécutifs ont la même longueur. Conclus avec la propriété du cours : un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.5

Pourquoi ne peut-on pas se fier au dessin ?

Un dessin n'est pas toujours exact. Deux côtés qui semblent égaux ou un angle qui semble droit ne le sont peut-être pas. Seules les données de l'énoncé et le codage de la figure comptent comme arguments.1

Si les diagonales se coupent en leur milieu, la figure est-elle un rectangle ?

Non, pas forcément. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent toujours en leur milieu.5 Pour conclure à un rectangle, il faut en plus un angle droit, ou des diagonales de même longueur.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 — Parallélogrammes et démonstration · Ministère de l'Éducation nationale

  1. Programme de mathématiques pour le cycle 4 — Parallélogrammes et démonstration, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 12 novembre 2026.
  2. Ressources d'accompagnement du programme de mathématiques au cycle 4, Éduscol. Consulté le 12 novembre 2026.
  3. Apprentissage de la démonstration en géométrie au cycle 4, IREM Université Grenoble Alpes. Consulté le 12 novembre 2026.
  4. Les quadrilatères particuliers — Fiche professeur, IREM Université Lille. Consulté le 12 novembre 2026.
  5. Parallélogramme, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.
  6. Règle du parallélogramme, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.

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