Parallélogrammes particuliers : exercices corrigés de 4e

Cas a) : ABCD est un parallélogramme avec un angle droit. C'est la propriété du rectangle, donc ABCD est un rectangle.⁵

Cas b) : EF et FG se rencontrent en F, ils sont consécutifs, et ils ont la même longueur. EFGH est donc un losange.⁵

Cas c) : une seule paire de côtés parallèles ne suffit pas pour un parallélogramme, il en faut deux. IJKL n'est pas un parallélogramme (c'est un trapèze).⁴

Cas d) : les côtés consécutifs mesurent 5 cm et 3 cm, ils sont différents, et il n'y a pas d'angle droit. MNOP reste un parallélogramme quelconque.

AB et BC se rencontrent en B : ils sont consécutifs. Ils mesurent tous deux 6 cm.

ABCD est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur : c'est un losange.⁵

Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont même longueur, donc $CD = AB = 6$ cm et $AD = BC = 6$ cm.⁵

Les quatre côtés mesurent 6 cm. Le périmètre est $4 \times 6 = 24$ cm.

ABCD est un parallélogramme et il a un angle droit en A : c'est donc un rectangle.⁵

Le triangle ABD est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore, $BD^2 = AB^2 + AD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.

Comme $BD$ est une longueur positive, $BD = \sqrt{100} = 10$ cm.

Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur.⁶ Donc $AC = BD = 10$ cm.

Les angles $\widehat{DAB}$ et $\widehat{ABC}$ se suivent : ils sont supplémentaires.⁵

Donc $\widehat{ABC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BCD}$ se suivent aussi, donc $\widehat{BCD} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

ABCD est un parallélogramme qui a un angle droit : c'est un rectangle.⁵

AB et BC sont consécutifs. Comme ABCD est un losange, $AB = BC$, donc $2x + 3 = x + 9$.⁵

On soustrait $x$ aux deux membres : $x + 3 = 9$.

On soustrait 3 : $x = 6$.

On calcule un côté : $AB = 2 \times 6 + 3 = 15$ cm. Vérification : $BC = 6 + 9 = 15$ cm, c'est cohérent.

Les côtés opposés d'un parallélogramme ont même longueur, donc les quatre côtés mesurent 15 cm.⁵ Le périmètre est $4 \times 15 = 60$ cm.

Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur.⁶ Donc $BD = AC = 14$ cm.

Un rectangle est un parallélogramme, et les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.⁵ O est donc le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$.

Comme O est le milieu de $[BD]$, $OB = BD \div 2 = 14 \div 2 = 7$ cm. De même $OA = AC \div 2 = 7$ cm.

Dans le triangle OAB, on a $OA = 7$ cm, $OB = 7$ cm et $AB = 7$ cm : les trois côtés sont égaux, le triangle est équilatéral.

ABCD est un parallélogramme et AB, BC sont deux côtés consécutifs de même longueur : c'est un losange.⁵

ABCD est un parallélogramme et il a un angle droit en B : c'est un rectangle.⁵

Les côtés opposés d'un parallélogramme ont même longueur, donc $CD = AB$ et $AD = BC$.⁵ Comme $AB = BC$, les quatre côtés sont égaux.

Deux angles qui se suivent sont supplémentaires, donc les angles en A, C et D sont aussi droits, comme on l'a fait dans l'exercice sur les angles.⁵ La figure a quatre côtés égaux et quatre angles droits : elle réunit les deux propriétés, c'est un carré.