Angles alternes-internes et correspondants : cours de 5e

Dans ce chapitre, tu travailles avec trois droites à la fois. Deux droites, que nous appellerons $(d)$ et $(d')$, et une troisième droite qui les traverse toutes les deux : la sécante. Quand la sécante coupe les deux droites, elle forme huit angles : quatre autour du premier point d'intersection et quatre autour du second.

Ces huit angles ne sont pas tous différents les uns des autres. Certains sont opposés par le sommet, d'autres sont supplémentaires, et d'autres encore se retrouvent par paires entre les deux points d'intersection. Ces paires ont des noms : les angles alternes-internes et les angles correspondants. Quand les deux droites sont parallèles, ces paires deviennent très utiles, car elles permettent de calculer des angles sans les mesurer.¹

Pour parler des huit angles sans ambiguïté, on utilisera dans tout le cours la numérotation suivante. La sécante est dessinée verticalement. La droite $(d)$ est en haut et coupe la sécante au point $A$. La droite $(d')$ est en bas et coupe la sécante au point $B$.

• Autour de $A$ : l'angle 1 est en haut à gauche, le 2 en haut à droite, le 3 en bas à droite, le 4 en bas à gauche.
• Autour de $B$ : l'angle 5 est en haut à gauche, le 6 en haut à droite, le 7 en bas à droite, le 8 en bas à gauche.

Cette numérotation sert de repère. Dans tes devoirs, les angles sont souvent nommés avec trois lettres ; le principe de repérage reste le même.

Décortiquons cette définition mot par mot, car chaque mot compte.

• Alternes : les deux angles sont de part et d'autre de la sécante. L'un est à gauche, l'autre à droite.
• Internes : les deux angles sont à l'intérieur de la « bande » comprise entre $(d)$ et $(d')$.

Avec notre numérotation, les angles 3 et 5 sont alternes-internes : le 3 est à droite de la sécante, le 5 à gauche, et tous deux sont entre les deux droites. Il en va de même pour les angles 4 et 6.³

Avec la numérotation du cours, les angles 1 et 5 sont correspondants : tous deux sont en haut à gauche de leur sommet.³ Les angles 4 et 8 le sont aussi : tous deux sont en bas à gauche.³

On en déduit les quatre paires de correspondants de la figure :

Un petit conseil de repérage : dans une paire de correspondants, l'un des angles est entre les deux droites et l'autre est à l'extérieur de la bande. Si tu vois deux angles du même côté de la sécante, tous les deux dans la bande (comme 4 et 5, ou 3 et 6), ils ne sont pas correspondants : on les appelle « internes du même côté » et ils ne font pas partie de ce chapitre.

Ces deux propriétés se lisent de la même façon : parallèles ⟹ angles égaux. L'hypothèse (les droites sont parallèles) doit être connue avant de conclure. Dans un exercice, elle est soit donnée dans l'énoncé (« $(d)\parallel(d')$ »), soit codée sur la figure.

Sur notre figure, si $(d)\parallel(d')$, alors :

• $\widehat{3}=\widehat{5}$ et $\widehat{4}=\widehat{6}$ (alternes-internes) ;
• $\widehat{1}=\widehat{5}$, $\widehat{2}=\widehat{6}$, $\widehat{3}=\widehat{7}$ et $\widehat{4}=\widehat{8}$ (correspondants).

Jusqu'ici, on savait que les droites étaient parallèles et on en déduisait des angles égaux. On peut aussi faire le chemin inverse : on mesure ou on calcule des angles, on les trouve égaux, et on en conclut que les droites sont parallèles. Ce sont les réciproques.