Angles opposés par le sommet : cours de 5e

Quand tu traces deux droites qui se croisent, tu obtiens une figure en forme de croix. Cette croix contient quatre angles autour du point de croisement. Tu les vois sur les ciseaux ouverts, sur un carrefour, sur les aiguilles d'une horloge prolongées, sur deux règles posées l'une sur l'autre.

En 5e, le programme demande de reconnaître et de citer, sur une figure, différents angles : angle plein, plat, nul, droit, et aussi les angles opposés par le sommet ¹. Ce cours t'apprend à les repérer sans te tromper, à connaître la propriété qui les concerne, à la démontrer et à t'en servir pour calculer une mesure.

Avant de découvrir les angles opposés par le sommet, rappelons ce que tu as vu sur les autres couples d'angles. Tu as rencontré les angles adjacents, les angles complémentaires et les angles supplémentaires ⁴.

Les angles complémentaires et supplémentaires se reconnaissent à la somme de leurs mesures ⁴. Pour la suite, retiens surtout ceci : un angle plat mesure $180^\circ$, et deux angles qui se complètent pour former un angle plat sont dits supplémentaires. Cette idée va servir dans la démonstration plus bas.

Les angles adjacents se touchent par un côté. Les angles opposés par le sommet, eux, ne se touchent que par leur sommet. C'est la grande différence, et c'est ce qui rend la figure en croix si particulière.

Prenons deux droites $(AB)$ et $(CD)$ qui se coupent en $O$. Elles dessinent quatre angles de sommet $O$ :

• $\widehat{AOC}$, $\widehat{COB}$, $\widehat{BOD}$ et $\widehat{DOA}$.

Les côtés de $\widehat{AOC}$ sont les demi-droites $[OA)$ et $[OC)$. Leurs prolongements, de l'autre côté de $O$, sont $[OB)$ et $[OD)$. Ce sont justement les côtés de $\widehat{BOD}$. Donc $\widehat{AOC}$ et $\widehat{BOD}$ sont opposés par le sommet.

De la même façon, $\widehat{COB}$ et $\widehat{DOA}$ sont opposés par le sommet.

Cette propriété est simple à énoncer, mais en mathématiques on ne se contente pas de la constater sur un dessin : on la démontre. Le dessin peut tromper, la démonstration, non.

L'idée est de relier les deux angles à un même troisième angle, qui leur est supplémentaire.

La propriété sert à trouver une mesure sans rapporteur. Un manuel de 5e propose d'ailleurs ce type de calcul comme méthode : si deux angles sont opposés par le sommet, ils ont la même mesure, donc on peut écrire la mesure de l'un à partir de l'autre ⁴.

Les exercices montrent rarement une croix toute seule. Souvent, plusieurs droites passent par le même point ou une droite coupe un triangle. Voici comment t'y retrouver.

Tu retrouveras ce lien entre figure et calcul dans le chapitre sur le triangle. Le programme de 5e demande en effet de connaître la somme des angles d'un triangle, qui vaut $180^\circ$ ², et de calculer le troisième angle quand on connaît les deux autres ¹. Les angles opposés par le sommet apparaissent souvent dans ces problèmes : une droite prolongée à travers un sommet du triangle crée un angle opposé à un angle du triangle, et tu peux le reporter.

Dans le chapitre suivant, tu rencontreras deux droites parallèles coupées par une sécante. Les angles alternes-internes et correspondants que tu y étudieras s'appuient eux aussi sur la propriété d'égalité ; savoir bien manier les angles opposés par le sommet te facilitera la tâche. On retrouve déjà cette idée dans les cours : lorsqu'une sécante coupe deux droites parallèles, certains angles ont la même mesure ².