Angles opposés par le sommet : exercices corrigés de 5e

Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Deux angles opposés par le sommet ont le même sommet, et les côtés de l'un prolongent ceux de l'autre ².
Ils ont toujours la même mesure ².
Pour un angle voisin, on passe par la droite : les deux angles adjacents forment un angle plat de 180°.
La somme des angles d'un triangle vaut 180° ².
Dans chaque exercice, repère les deux droites qui se croisent, nomme les angles, puis justifie chaque égalité.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font travailler sur un seul réflexe : repérer sur une figure deux angles opposés par le sommet, puis en déduire une mesure. Ils sont classés du plus simple au plus délicat. Cherche d'abord seul, avec un brouillon et une figure à main levée, puis ouvre les indices, et enfin la correction. Une réponse sans justification ne vaut pas grand-chose en 5e : écris toujours la propriété que tu utilises.

Les exercices

Exercice 1 Deux droites qui se coupent

★☆☆Environ 3 min

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ se coupent en $O$ , avec $O$ placé entre $A$ et $B$ , et entre $C$ et $D$ . L'angle $\widehat{AOC}$ mesure $47°$ .

Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{BOD}$ ?

Indice 1

Place les points sur une figure : où se trouve $D$ par rapport à $C$ , et $B$ par rapport à $A$ ?

Indice 2

Regarde si les côtés de $\widehat{BOD}$ prolongent ceux de $\widehat{AOC}$ .

Voir la correction pas à pas

Les points $A$ , $O$ , $B$ sont alignés et $C$ , $O$ , $D$ le sont aussi, avec $O$ entre les deux extrémités.
La demi-droite $[OB)$ prolonge $[OA)$ et la demi-droite $[OD)$ prolonge $[OC)$ .
Donc les angles $\widehat{AOC}$ et $\widehat{BOD}$ sont opposés par le sommet.
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure, donc $\widehat{BOD} = \widehat{AOC} = 47°$ .

L'angle $\widehat{BOD}$ mesure 47°, car il est opposé par le sommet à $\widehat{AOC}$ ².

Exercice 2 Une équation toute simple

★☆☆Environ 5 min

Deux droites se coupent en $O$ . Deux angles opposés par le sommet mesurent $(x + 10)°$ et $(3x - 20)°$ .

Calcule la mesure de chacun de ces angles.

Indice 1

Que peux-tu écrire sur les mesures de deux angles opposés par le sommet ?

Indice 2

Écris une égalité entre $x + 10$ et $3x - 20$ , puis résous-la.

Voir la correction pas à pas

Les deux angles sont opposés par le sommet, donc ils ont la même mesure : $x + 10 = 3x - 20$ .
On regroupe les termes : $10 + 20 = 3x - x$ , soit $30 = 2x$ .
On en déduit $x = 15$ .
On remplace : $x + 10 = 25$ et $3x - 20 = 45 - 20 = 25$ . Les deux valeurs sont bien égales.

Chacun des deux angles mesure 25°. La vérification par les deux expressions donne le même résultat, ce qui confirme la valeur de $x$ .

Exercice 3 L'angle voisin

★★☆Environ 6 min

Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$ . L'angle $\widehat{AOB}$ mesure $112°$ . Le point $O$ est situé entre $A$ et $C$ , et aussi entre $B$ et $D$ .

Calcule la mesure de l'angle $\widehat{BOC}$ , puis celle de $\widehat{COD}$ en justifiant.

Indice 1

Les angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOC}$ sont côte à côte le long de la droite $(AC)$ : quel angle forment-ils ensemble ?

Indice 2

Pour $\widehat{COD}$ , cherche quel angle lui est opposé par le sommet.

Voir la correction pas à pas

Comme $A$ , $O$ , $C$ sont alignés, les angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOC}$ forment ensemble un angle plat, de $180°$ .
On calcule : $\widehat{BOC} = 180° - 112° = 68°$ .
Les demi-droites $[OC)$ et $[OA)$ sont opposées, de même que $[OD)$ et $[OB)$ : les angles $\widehat{COD}$ et $\widehat{AOB}$ sont donc opposés par le sommet, et $\widehat{COD} = 112°$ .
Contrôle : $\widehat{BOC}$ et $\widehat{COD}$ sont adjacents le long de la droite $(BD)$ , et $68° + 112° = 180°$ .

On trouve $\widehat{BOC} =$ 68° et $\widehat{COD} = 112°$ . Le contrôle sur la droite $(BD)$ confirme l'ensemble.

Exercice 4 Un triangle prolongé

★★☆Environ 7 min

Dans le triangle $ABC$ , l'angle $\widehat{ABC}$ mesure $52°$ et l'angle $\widehat{ACB}$ mesure $61°$ . On prolonge le côté $[BA]$ au-delà de $A$ jusqu'à un point $E$ , et le côté $[CA]$ au-delà de $A$ jusqu'à un point $F$ .

Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{EAF}$ ?

Indice 1

Commence par calculer l'angle $\widehat{BAC}$ du triangle.

Indice 2

Montre ensuite que $\widehat{EAF}$ et $\widehat{BAC}$ sont opposés par le sommet.

Voir la correction pas à pas

La somme des angles d'un triangle vaut $180°$ , donc $\widehat{BAC} = 180° - 52° - 61°$ .
On calcule : $\widehat{BAC} = 67°$ .
Le point $E$ est sur le prolongement de $[BA]$ et $F$ sur celui de $[CA]$ : les côtés de $\widehat{EAF}$ prolongent ceux de $\widehat{BAC}$ .
Les angles $\widehat{EAF}$ et $\widehat{BAC}$ sont donc opposés par le sommet, et $\widehat{EAF} = 67°$ .

L'angle $\widehat{EAF}$ mesure 67°. On a utilisé deux résultats du cours : la somme des angles d'un triangle ² et l'égalité des angles opposés par le sommet ².

Exercice 5 Trois droites en un même point

★★★Environ 8 min

Trois droites $(AD)$ , $(BE)$ et $(CF)$ passent par le même point $O$ . Les six demi-droites $[OA)$ , $[OB)$ , $[OC)$ , $[OD)$ , $[OE)$ , $[OF)$ se suivent dans cet ordre autour de $O$ . On sait que $\widehat{AOB} = 35°$ et $\widehat{BOC} = 70°$ .

Calcule la mesure de $\widehat{FOA}$ .

Indice 1

Les points $A$ , $O$ , $D$ sont alignés : les trois angles $\widehat{AOB}$ , $\widehat{BOC}$ et $\widehat{COD}$ remplissent un angle plat.

Indice 2

Cherche l'angle opposé par le sommet à $\widehat{COD}$ .

Voir la correction pas à pas

Les points $A$ , $O$ , $D$ sont alignés, donc $\widehat{AOB} + \widehat{BOC} + \widehat{COD} = 180°$ .
On en tire $\widehat{COD} = 180° - 35° - 70° = 75°$ .
Les demi-droites $[OF)$ et $[OC)$ sont opposées, de même que $[OA)$ et $[OD)$ .
Donc $\widehat{FOA}$ et $\widehat{COD}$ sont opposés par le sommet, et $\widehat{FOA} = 75°$ .

L'angle $\widehat{FOA}$ mesure 75°. Dans ce type de figure, un bon réflexe consiste à s'appuyer sur une droite entière pour trouver l'angle manquant, puis à reporter la valeur sur l'angle opposé.

Exercice 6 Équation et angle voisin

★★★Environ 10 min

Deux droites se coupent en $O$ . Deux angles opposés par le sommet mesurent $(3x + 5)°$ et $(5x - 25)°$ . Un troisième angle, adjacent à l'un des deux, forme avec lui un angle plat.

Calcule la mesure de ce troisième angle.

Indice 1

Écris d'abord l'égalité qui traduit l'opposition par le sommet, puis résous l'équation.

Indice 2

Une fois l'angle connu, retire-le de l'angle plat.

Voir la correction pas à pas

Les deux angles sont opposés par le sommet, donc $3x + 5 = 5x - 25$ .
On regroupe : $5 + 25 = 5x - 3x$ , soit $30 = 2x$ , donc $x = 15$ .
Chacun des deux angles mesure $3 \times 15 + 5 = 50°$ . Vérification : $5 \times 15 - 25 = 50°$ .
Le troisième angle complète l'un d'eux pour former $180°$ : $180° - 50° = 130°$ .

Le troisième angle mesure 130°. Les deux premiers angles font $50°$ chacun et leur égalité vient de la propriété des angles opposés par le sommet ².

Les questions qu'on se pose

Comment être sûr que deux angles sont opposés par le sommet ?

Vérifie deux choses : les angles ont le même sommet, et les côtés de l'un sont dans le prolongement des côtés de l'autre ². En pratique, ils se font face au point où deux droites se coupent. Si les angles sont seulement côte à côte, ils sont adjacents, pas opposés par le sommet.

Que faire si l'angle cherché n'est pas opposé à un angle connu ?

Passe par un angle voisin. Deux angles adjacents le long d'une droite forment un angle plat de 180°, ce qui te donne l'angle manquant par soustraction. Tu peux aussi utiliser la somme des angles d'un triangle, qui vaut 180° ², puis reporter la valeur trouvée sur l'angle opposé par le sommet.

Sources

Programme visé : Bulletin officiel n°10 du 5 mars 2026 — Angles et parallélisme (5e Mathématiques) · Ministère de l'Éducation Nationale

Bulletin officiel n°10 du 5 mars 2026 — Angles et parallélisme (5e Mathématiques), Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 10 novembre 2026.
Cours — Angles opposés par le sommet (version élève), Académie de Lyon. Consulté le 10 novembre 2026.
Angles et symétrie — Vocabulaire et angles adjacents, Sesamath. Consulté le 10 novembre 2026.
Activité — Les angles (Manuel Sesamath), Sesamath. Consulté le 10 novembre 2026.
Programme de mathématiques 5e — Angles et géométrie, Académie de Bordeaux. Consulté le 10 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Deux droites qui se coupent

Exercice 2 Une équation toute simple

Exercice 3 L'angle voisin

Exercice 4 Un triangle prolongé

Exercice 5 Trois droites en un même point

Exercice 6 Équation et angle voisin

Les questions qu'on se pose

Sources

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