Réduire une expression littérale : cours de 5e

Imagine que tu comptes les billes de deux amis. Léa a $3$ sacs de $x$ billes, Hugo en a $5$ sacs du même type. Tu peux écrire le total ainsi : $3x + 5x$. Mais tu vois bien que cela revient à $8$ sacs de $x$ billes : $8x$. Cette écriture est plus courte, plus lisible et plus pratique pour calculer.

C'est exactement ce que fait la réduction : elle simplifie l'écriture d'une expression littérale, sans toucher à sa valeur. En 5e, tu apprends à produire des expressions littérales pour traduire un programme de calcul ou élaborer une formule¹. Une fois l'expression écrite, il faut souvent la rendre plus simple. Voilà le rôle de ce chapitre.

Avant de commencer, rappelle-toi deux idées déjà vues. D'abord, une expression littérale contient une ou plusieurs lettres qui remplacent des nombres. Ensuite, tu sais substituer une valeur numérique à une lettre pour calculer la valeur de l'expression¹. Cette seconde compétence va te servir ici, car elle permet de vérifier qu'une réduction est correcte.

Un point d'écriture à connaître : entre un nombre et une lettre, on peut omettre le signe $\times$. Ainsi $4x$ signifie $4 \times x$. De même, $x$ tout seul signifie $1 \times x$, et $-x$ signifie $-1 \times x$. Ce détail est très utile : quand tu vois $x$ sans nombre devant, son coefficient est $1$.

Pourquoi a-t-on le droit d'écrire $3x + 5x = 8x$ ? Parce que la distributivité simple le justifie. Au programme de 5e, elle sert à réduire une expression de la forme $ax + bx$, où $a$ et $b$ sont des nombres décimaux¹³. Elle permet aussi de valider la réduction d'une expression².

C'est la grande question de ce chapitre. Une réduction n'est possible que pour des termes de même type. On ne peut pas additionner « des sacs de billes » avec « des billes isolées », ni des $x$ avec des $y$.

Souvent, une expression contient des termes de plusieurs types. Il suffit de regrouper chaque type séparément. On additionne les termes en $a$ entre eux, les termes constants entre eux : on obtient au plus un terme par lettre et un seul terme constant.

Tu sais déjà remplacer une lettre par une valeur numérique pour calculer la valeur d'une expression¹. Cette compétence offre un excellent outil de contrôle : une expression et sa version réduite doivent donner le même nombre quand on choisit la même valeur pour la lettre.

Cette idée de tester si deux écritures sont égales prépare la suite du programme, où tu vérifieras des égalités et rencontreras les notions d'inconnue et de solution³.

Réduire une expression ne sert pas seulement à faire joli. Dans un problème, l'expression réduite demande moins de calculs. Si tu dois évaluer une expression pour de nombreuses valeurs de la lettre, la forme réduite te fait gagner un temps précieux.

Cette façon de procéder s'appuie sur le lien entre le déroulé d'un calcul (ce qu'on fait, étape après étape) et la structure de l'expression (ce qu'elle est : une somme ou un produit)². Quand tu regroupes des termes, tu regardes la structure : tu repères une somme de termes, puis tu cherches ceux qui se ressemblent³.