Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La simple distributivité : k×(a+b)=k×a+k×b et k×(a−b)=k×a−k×b.
Développer, c'est passer du produit à la somme ; factoriser, c'est faire le chemin inverse.
Réduire ax+bx : on factorise par x et on obtient (a+b)x.
Le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse, sans en oublier un, et le signe suit.
Pour vérifier, remplace la lettre par un nombre et compare les deux résultats.
Ce que dit la distributivité
Tu sais déjà calculer avec des lettres, remplacer une lettre par un nombre et réduire une expression. Dans ce cours, tu apprends une règle de calcul qui relie deux opérations : la multiplication et l'addition (ou la soustraction). Elle sert à écrire autrement une même expression, tantôt plus longue, tantôt plus courte, selon ce que tu cherches.
Au collège, cette règle s'appelle la distributivité simple. Les programmes de cycle 4 prévoient de l'institutionnaliser en classe pour donner du sens aux transformations d'expressions 2. Elle ne demande pas de longues listes de règles à retenir : le nombre de règles formalisées exigibles reste volontairement limité 2.
Rappel : écrire sans le signe ×
Avant de développer, un mot sur l'écriture. Avec des lettres, on supprime souvent le signe × quand il est devant une lettre ou devant une parenthèse. Les attendus de 5e demandent de simplifier ainsi des écritures comme 5×a+3×b ou x×y3.
Écriture complète
Écriture simplifiée
5×a+3×b
5a+3b
x×y
xy
2×l+2×L
2l+2L
4×(x+3)
4(x+3)
On ne supprime jamais le signe × entre deux nombres : 3×4 ne s'écrit pas 34.
Développer avec une addition
Repérer le facteurLe nombre ou la lettre collé à la parenthèse
Multiplier le 1er termeOn calcule k fois a
Multiplier le 2nd termeOn calcule k fois b
Relier et réduireOn garde le signe de la parenthèse
Développer $k(a + b)$ en quatre gestes · La méthode pour développer une expression avec la distributivité.
Développer avec une soustraction
La distributivité fonctionne aussi quand la parenthèse contient une différence. Le programme de cycle 4 range ce cas parmi les compétences travaillées en classe 2. La démarche reste la même qu'avec une somme, mais les signes demandent plus d'attention.
Factoriser et réduire $ax + bx$
On peut lire la distributivité de droite à gauche. On part de ka+kb et on revient à k(a+b) : c'est la factorisation. Elle sert à reconnaître un facteur commun à deux termes.
C'est précisément ce qui justifie la réduction d'une expression comme ax+bx : le programme de 5e demande d'utiliser la distributivité simple pour réduire une expression de la forme ax+bx3. Le recours à la distributivité permet aussi de valider la réduction d'une expression littérale 2.
Démonstration · Pourquoi $3x + 5x = 8x$
Le facteur commun est x. On écrit :
3x+5x=(3+5)x=8x.
On a bien utilisé ax+bx=(a+b)x, avec a=3 et b=5. Vérification pour x=4 : 3×4+5×4=12+20=32 et 8×4=32.
Enchaîner : développer puis réduire
Souvent, on développe une parenthèse puis on réduit le résultat. Reconnaître les blocs de calcul intermédiaires fait partie des compétences visées 2. Un bloc est une partie de l'expression qui se calcule d'un seul tenant, comme une parenthèse ou un produit.
Calcul mental et vérification
La distributivité sert aussi à calculer vite sans calculatrice. Il suffit de décomposer un nombre en une somme ou une différence plus simple.
Les erreurs à éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Développer puis calculer
★☆☆Environ 5 min
Développe A=4(x+5), puis calcule A pour x=3 de deux façons : avec l'expression de départ, puis avec l'expression développée.
Indice 1
Multiplie 4 par x, puis par 5.
Indice 2
Remplace x par 3 dans chaque écriture et compare.
Voir la correction pas à pas
On distribue : 4(x+5)=4×x+4×5=4x+20.
Avec l'expression de départ : 4×(3+5)=4×8=32.
Avec l'expression développée : 4×3+20=12+20=32.
Les deux résultats sont identiques : A=32 pour x=3.
La distributivité donne deux écritures qui valent la même chose pour toute valeur de x : le contrôle par substitution le confirme.
Exercice 2 Calcul mental malin
★★☆Environ 6 min
Calcule 27×98 sans calculatrice, en écrivant 98 comme une différence de deux nombres simples.
Indice 1
Écris 98=100−2.
Indice 2
Applique k(a−b)=ka−kb avec k=27.
Voir la correction pas à pas
On écrit 98=100−2, donc 27×98=27×(100−2).
On distribue : 27×100−27×2.
On calcule chaque produit : 2700−54.
On soustrait : 2700−54=2646.
Choisir une décomposition proche d'un multiple de 10 ou de 100 transforme un calcul pénible en deux calculs faciles.
Exercice 3 Développer et réduire
★★★Environ 8 min
Développe et réduis chaque expression :
C=9x+2x−4x
D=2(3x+1)+5x
E=10x−3(x−2)
Indice 1
Pour C, additionne les coefficients : 9+2−4.
Indice 2
Pour E, développe d'abord 3(x−2) et fais attention au signe moins devant le bloc.
Voir la correction pas à pas
Pour C : 9x+2x−4x=(9+2−4)x=7x.
Pour D : 2(3x+1)=6x+2, donc D=6x+2+5x.
On réduit les termes en x : D=11x+2.
Pour E : 3(x−2)=3x−6, donc E=10x−(3x−6).
On supprime la parenthèse en changeant les signes : E=10x−3x+6=7x+6.
Contrôle de E avec x=2 : 10×2−3×0=20 et 7×2+6=20.
On développe d'abord chaque parenthèse, puis on réduit les termes de même nature, en surveillant les signes.
Quiz
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Le facteur 3 multiplie chaque terme : 3×x=3x et 3×4=12, d'où 3x+12. La réponse 3x+4 est l'erreur classique : le 3 n'a servi que pour le premier terme. Avec x=2, on a 3×6=18 pour 3x+12 alors que 3x+4 donne 10.
On calcule 5×2x=10x et 5×3=15, le signe moins restant devant : 10x−15. Écrire 10x−3 oublie de multiplier le second terme, et 10x+15 change le signe à tort. Pour x=2, 5×1=5 et 10×2−15=5.
On factorise par x : 8x+5x=(8+5)x=13x. Le résultat 13x2 confond addition et multiplication des lettres. Le résultat 40x multiplie les coefficients, alors qu'on les additionne. Le résultat 13 fait disparaître la lettre sans raison.
C'est faux : le 4 doit multiplier aussi le 2, ce qui donne 4x+8. L'erreur tentante est de ne distribuer qu'au premier terme. Pour x=1 : 4×3=12 d'un côté, 4+2=6 de l'autre.
On remplace x par 2 : 6×(2+7)=6×9=54. Avec l'expression développée, 6x+42 donne 12+42=54. Le résultat 19, obtenu en calculant 6×2+7, vient d'un oubli de distribution.
On écrit 99=100−1, donc 12×99=1200−12=1188. La décomposition avec 100+1 représente 101, pas 99. Les deux autres écritures ne valent pas 12×99.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre développer et factoriser ?
Développer, c'est passer d'un produit à une somme : 3(x+4) devient 3x+12. Factoriser, c'est faire le chemin inverse : 3x+12 redevient 3(x+4). Les deux écritures sont égales, seule la forme change.
Pourquoi ne peut-on pas écrire $3x + 5 = 8x$ ?
Parce que 3x dépend de x alors que 5 est un nombre seul. On ne réduit que des termes de même nature, comme 3x+5x=8x. Teste avec x=1 : 3+5=8 marche par hasard, mais avec x=2 on trouve 11 d'un côté et 16 de l'autre.
Comment savoir si mon développement est juste ?
Remplace la lettre par une valeur simple dans l'expression de départ et dans ton résultat. Si les deux nombres diffèrent, il y a une erreur. S'ils coïncident, ton résultat est très probablement correct ; un second test avec une autre valeur renforce la confiance.
À quoi sert la distributivité en dehors des exercices de calcul littéral ?
Elle permet de calculer mentalement, par exemple 27×98=27×(100−2), et elle sert à réduire des expressions. Elle prépare aussi la suite du programme, comme le test d'égalités et la résolution d'équations.
Que faire quand le facteur est une lettre, comme dans $x(x + 3)$ ?
On applique la même règle : x×x+x×3=x2+3x. Le produit x×x se note x2. Les termes x2 et 3x ne se réduisent pas entre eux, car ils ne sont pas de même nature.