Substituer une valeur : cours de mathématiques de 5e

Tu as déjà rencontré des expressions avec des lettres, comme $2 \times l + 2 \times L$ ou $5 \times a + 3 \times b$. Ces expressions ne donnent pas un nombre tant que l'on ne sait pas ce que valent les lettres. Pour obtenir un résultat, il faut donner une valeur à chaque lettre. C'est exactement ce que veut dire substituer.

Le programme de cycle 4 demande de calculer la valeur d'une expression littérale par substitution, et aussi de tester si une égalité contenant une variable est vraie ou fausse. ¹ Ce cours couvre ces deux gestes, pas à pas.

Pourquoi une lettre plutôt qu'un nombre ? Parce qu'une lettre permet de ne pas s'attacher à une valeur particulière : on écrit une seule fois une règle de calcul, et elle sert pour autant de nombres que l'on veut. ³ Une formule comme $A = L \times l$ joue ce rôle d'abréviation : elle remplace une longue phrase (« l'aire d'un rectangle, c'est la longueur multipliée par la largeur ») par quelques symboles. ³

En pratique, substituer sert à :

• calculer la valeur d'une expression pour un nombre donné ;
• remplir un tableau de valeurs à partir d'une formule ;
• vérifier qu'un nombre rend une égalité vraie.

Prenons l'expression $E = 3x + 2$. La lettre $x$ n'a pas de valeur fixée. Si on décide que $x = 4$, on remplace la lettre par 4 :

$E = 3 \times 4 + 2$

On calcule ensuite en respectant les priorités : la multiplication avant l'addition. Donc $E = 12 + 2 = 14$. On dit que la valeur de $E$ pour $x = 4$ est 14.

Après la substitution, on se retrouve avec un calcul numérique. Le programme demande de savoir calculer des expressions contenant des puissances simples, des additions, des soustractions et des produits. ¹ Il faut donc se rappeler dans quel ordre on effectue ces opérations.

Quand la valeur remplacée est un nombre décimal, la calculatrice peut aider, mais elle ne remplace pas la maîtrise des techniques de base. ¹ Pose toujours le calcul avec les nombres avant de taper quoi que ce soit : cela permet de repérer un résultat absurde.

Une formule est une expression littérale qui traduit comment une grandeur dépend d'autres grandeurs. ² Les formules de géométrie en sont de bons exemples. Pour le périmètre d'un rectangle de largeur $l$ et de longueur $L$, on écrit $P = 2 \times l + 2 \times L$. ²

Une égalité contenant une lettre, comme $3x = x + 6$, n'est ni vraie ni fausse en elle-même : cela dépend de la valeur de $x$. Le programme demande de tester si une telle égalité est vraie ou fausse pour une valeur donnée. ¹ Selon la valeur que l'on attribue à la lettre, l'égalité peut être vraie ou fausse. ²

Voici une situation qui piège souvent. On teste $2(x + 1) = 2x + 2$ pour $x = 3$ : à gauche, $2 \times 4 = 8$ ; à droite, $2 \times 3 + 2 = 8$. L'égalité est vraie pour 3. Peut-on en déduire qu'elle est vraie pour tous les nombres ?

Pas à partir d'un seul test. Regarde l'égalité $3x + 6 = 9x$ : pour $x = 1$, on obtient $9$ des deux côtés, donc elle est vraie. Pourtant, pour $x = 2$, on trouve $12$ d'un côté et $18$ de l'autre : elle est fausse.

Tester plusieurs valeurs reste utile : cela permet de repérer vite une égalité fausse, ou de se donner confiance avant une preuve. Ce travail prépare la suite du chapitre : réduire une expression, utiliser la simple distributivité, puis tester des égalités plus longues.