Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Tester une égalité, c'est remplacer la lettre par un nombre, calculer chaque membre séparément, puis comparer les deux résultats.
Si les deux résultats sont égaux, le nombre vérifie l'égalité ; sinon, l'égalité est fausse pour ce nombre.
Un seul nombre qui donne deux résultats différents suffit à montrer qu'une égalité n'est pas vraie pour toutes les valeurs : c'est un contre-exemple.
Plusieurs essais réussis rendent une égalité vraisemblable, mais ne la démontrent pas : il faut une transformation d'écriture (réduction, distributivité).
Mets les valeurs négatives entre parenthèses quand tu substitues, et ne mélange jamais le calcul du membre de gauche avec celui du membre de droite.
Pourquoi tester une égalité ?
Depuis le début du calcul littéral, tu rencontres des lettres dans des expressions : 3x+4, 2(x+5), x×x. Une lettre représente un nombre. Tant que ce nombre n'est pas choisi, l'expression n'a pas de valeur précise.
Une égalité relie deux expressions par le signe =. Par exemple : 3x+4=2x+7. Cette phrase affirme que les deux expressions donnent le même résultat. Mais est-ce vrai ? Cela dépend du nombre mis à la place de x.
Dans ce cours, tu apprends à répondre à une question simple : cette égalité est-elle vraie ou fausse pour ce nombre ? Le programme de 5e demande justement de savoir calculer la valeur d'une expression littérale par substitution, puis de tester si une égalité entre expressions algébriques contenant une variable est vraie ou fausse 1. Il demande aussi de tester si un nombre vérifie une égalité 1.
Pourquoi est-ce utile ? Parce qu'on écrit sans arrêt des formules : l'aire d'un rectangle, le périmètre d'une figure, la description des nombres pairs ou impairs. Le programme invite à produire des formules de ce genre et à tester si elles sont vraisemblables 1. Un test rapide permet de repérer une formule fausse avant d'aller plus loin. Les ressources Éduscol précisent qu'on peut tester une égalité à la main ou à l'aide d'un outil, comme une calculatrice ou un tableur 2. Ici, nous faisons les tests à la main.
Les deux membres et la substitution
La méthode pour tester une égalité
Remarque bien ce que montrent ces deux exemples : la même égalité peut être vraie pour un nombre et fausse pour un autre. Dire qu'une égalité est vraie ou fausse n'a de sens que si on précise la valeur de la lettre. C'est ce qui distingue une égalité avec une lettre d'un simple calcul comme 2+3=5, qui est vrai une fois pour toutes.
Vérifier un nombre ou chercher parmi plusieurs
Souvent, l'énoncé propose plusieurs nombres et demande lequel vérifie l'égalité. Il n'y a pas de formule magique à ce niveau : on les teste un par un, et on s'arrête quand on en trouve un qui convient, ou on les essaie tous si on veut être sûr de ne pas en oublier.
Une égalité peut-elle être toujours vraie ? Le contre-exemple
Certaines égalités sont vraies seulement pour quelques nombres, comme 5x−2=2x+7 ci-dessus. D'autres sont vraies quel que soit le nombre choisi : ce sont des égalités qui viennent d'une règle de calcul, par exemple la distributivité.
Tester une formule : aires, périmètres, nombres pairs et impairs
Le test d'égalité sert aussi à contrôler une formule que l'on a écrite soi-même. Le programme cite explicitement les aires de formes géométriques simples et les nombres pairs et impairs comme situations où l'on produit des formules puis où l'on teste leur vraisemblance 1.
Les erreurs fréquentes et comment les éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Quel nombre vérifie l'égalité ?
★☆☆Environ 8 min
On considère l'égalité 3x+4=2x+7. Parmi les nombres 0, 1, 2, 3 et 4, un seul vérifie cette égalité. Lequel ?
Indice 1
Fais un tableau avec une ligne par nombre : calcule 3x+4 puis 2x+7.
Indice 2
Compare les deux résultats ligne par ligne, sans t'arrêter avant d'avoir tout vu.
Voir la correction pas à pas
Pour x=0 : 3×0+4=4 et 2×0+7=7. Comme 4=7, l'égalité est fausse.
Pour x=1 : 3×1+4=7 et 2×1+7=9. Comme 7=9, elle est fausse.
Pour x=2 : 3×2+4=10 et 2×2+7=11. Comme 10=11, elle est fausse.
Pour x=3 : 3×3+4=13 et 2×3+7=13. Les deux membres sont égaux : l'égalité est vraie.
Pour x=4 : 3×4+4=16 et 2×4+7=15. Comme 16=15, elle est fausse.
Conclusion : seul le nombre 3 vérifie l'égalité.
Le nombre qui vérifie l'égalité 3x+4=2x+7 est 3. Le tableau évite d'oublier une valeur et rend la comparaison visible d'un coup d'œil.
Exercice 2 Vraie, fausse, ou à démontrer ?
★★☆Environ 12 min
Teste l'égalité 2(x+3)=2x+6 pour x=0, puis x=1, puis x=4.
Teste l'égalité 5(x+1)=5x+1 pour x=0 puis pour x=3.
Pour chacune, dis ce que tu peux conclure.
Indice 1
Écris les deux membres sur deux lignes séparées pour chaque valeur.
Indice 2
Pour la question 2, regarde si les deux valeurs de x donnent la même conclusion.
Voir la correction pas à pas
Égalité 1, x=0 : 2×(0+3)=6 et 2×0+6=6 : égaux.
Égalité 1, x=1 : 2×4=8 et 2×1+6=8 : égaux.
Égalité 1, x=4 : 2×7=14 et 2×4+6=14 : égaux.
Pour l'égalité 1, trois essais réussis la rendent vraisemblable ; la distributivité le confirme : 2(x+3)=2×x+2×3=2x+6. Elle est vraie pour toute valeur de x.
Égalité 2, x=0 : 5×(0+1)=5 et 5×0+1=1 : 5=1, elle est fausse.
Égalité 2, x=3 : 5×4=20 et 5×3+1=16 : 20=16, elle est fausse aussi.
Conclusion pour l'égalité 2 : une seule valeur suffisait. Les valeurs 0 et 3 sont des contre-exemples. L'erreur vient de la distributivité : 5(x+1)=5x+5.
L'égalité 2(x+3)=2x+6 est vraie pour toutes les valeurs, alors que 5(x+1)=5x+1 est fausse en général, comme le montre n'importe quel contre-exemple.
Exercice 3 Contrôler les formules d'un rectangle
★★★Environ 15 min
Un rectangle a pour largeur x cm et pour longueur x+2 cm. Léa propose deux formules : l'aire A=x2+2x et le périmètre P=4x+2. On prend x=4.
Calcule l'aire réelle du rectangle puis la valeur donnée par la formule de Léa.
Calcule le périmètre réel du rectangle puis la valeur donnée par la formule de Léa.
Que conclus-tu pour chaque formule ?
Donne en réponse le périmètre réel en cm.
Indice 1
Pour x=4, la longueur vaut 4+2=6 cm et la largeur 4 cm.
Indice 2
Le périmètre réel est le double de la somme longueur plus largeur.
Voir la correction pas à pas
Pour x=4 : largeur 4 cm, longueur 4+2=6 cm.
Aire réelle : 4×6=24 cm2.
Formule de Léa pour l'aire : 42+2×4=16+8=24 cm2. Les deux valeurs sont égales : la formule passe le test.
Périmètre réel : 2×(6+4)=2×10=20 cm.
Formule de Léa pour le périmètre : 4×4+2=16+2=18 cm. Comme 18=20, la formule échoue.
Conclusion : x=4 est un contre-exemple pour la formule du périmètre, qui est fausse. La bonne formule est P=2(x+2+x)=4x+4 ; pour x=4, elle donne 20 cm, ce qui concorde. La formule de l'aire est vraisemblable, et la distributivité la confirme : x(x+2)=x2+2x.
Le périmètre réel vaut 20 cm. La formule d'aire de Léa est correcte ; sa formule de périmètre est fausse et doit être remplacée par 4x+4.
Quiz
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Avec x=2, le membre de gauche vaut 3×2+1=7, et le membre de droite vaut 7. Les deux membres sont égaux, donc l'égalité est vraie. Penser qu'elle est fausse vient souvent d'une erreur comme lire 3x comme 32 : le produit caché doit être calculé, 3×2=6.
Pour x=3 : 5×3−2=13 et 2×3+7=13, les deux membres sont égaux. Pour x=2, on trouve 8 et 11 ; pour x=4, on trouve 18 et 15 ; pour x=1, on trouve 3 et 9. Dans ces trois cas les résultats diffèrent, donc ces nombres ne vérifient pas l'égalité.
Une valeur qui convient ne prouve rien sur les autres. Par exemple, x+1=2x est vraie pour x=1 car 2=2, mais fausse pour x=2 car 3=4. L'idée contraire est tentante parce qu'un test réussi donne l'impression d'avoir vérifié, alors qu'il n'a vérifié qu'un seul cas.
Un seul contre-exemple, c'est-à-dire une valeur qui donne deux résultats différents, suffit à réfuter l'égalité. Trouver des valeurs qui donnent des résultats égaux ne la réfute pas : cela va même dans le sens contraire. Un membre égal à zéro ou positif ne dit rien sur la comparaison des deux membres.
On remplace partout : 42+3×4=16+12=28. L'erreur tentante est de calculer x2 comme 2×4=8, ce qui donnerait 20 ; or x2 signifie 4×4=16.
Membre de gauche : 2×(3+1)=2×4=8. Membre de droite : 2×3+1=7. Comme 8=7, l'égalité est fausse pour x=3. Les autres propositions viennent d'erreurs de calcul : par exemple, oublier le +1 dans la parenthèse donne 2×3=6 à gauche.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence y a-t-il entre tester une égalité et résoudre une équation ?
Tester, c'est vérifier un nombre déjà choisi : on remplace la lettre par ce nombre, on calcule les deux membres et on compare. Résoudre une équation, c'est chercher tous les nombres qui conviennent sans les connaître d'avance. En 5e, tu apprends d'abord à tester : c'est la base sur laquelle on construit ensuite la résolution.
Si les deux membres sont égaux pour un nombre, est-ce que l'égalité est toujours vraie ?
Non. Elle est vraie pour ce nombre, et c'est tout ce que tu peux affirmer. Pour savoir si elle est vraie pour tous les nombres, il faut soit transformer les écritures avec les règles de calcul, soit trouver un contre-exemple qui la réfute.
Combien de valeurs faut-il tester pour être sûr qu'une égalité est fausse ?
Une seule : un contre-exemple suffit. Il faut juste que ton calcul soit juste. Si les deux membres donnent des résultats différents pour une valeur, l'égalité n'est pas vraie pour toutes les valeurs, et il est inutile d'en tester d'autres pour le prouver.
Pourquoi faut-il mettre les nombres négatifs entre parenthèses ?
Parce que le signe moins peut se confondre avec une soustraction. Pour x=−2 dans 3x+1, écrire 3×(−2)+1 rend le calcul lisible et évite l'erreur de signe. Les parenthèses montrent que −2 est un nombre complet, qui prend la place de la lettre.