La notion d'inconnue : cours de maths en 5e

Tu connais déjà des égalités comme $3 + 4 = 7$. Elles sont toujours vraies : on calcule à gauche, on calcule à droite, et on trouve la même chose.

En mathématiques, on rencontre aussi des situations où un nombre manque. Par exemple : « Je pense à un nombre, je lui ajoute 5 et j'obtiens 12. » Quel est ce nombre ? Tu peux le trouver de tête (c'est 7), mais pour des problèmes plus compliqués, il faut une méthode solide. Cette méthode commence par un geste simple : donner un nom au nombre qu'on cherche.

Ce nom, c'est une lettre. Le nombre caché devient une inconnue. Dans ce cours, tu vas apprendre ce qu'est une inconnue, à quoi elle sert, comment la manipuler et comment vérifier si une valeur est la bonne. Tu n'as besoin d'aucune notion nouvelle : seulement des quatre opérations et des priorités de calcul.

Dit plus simplement : l'inconnue est la place vide que tu laisses pour le nombre que tu cherches. Tant que tu ne sais pas quel nombre y mettre, tu la représentes par un symbole.

Dans un problème, on commence par identifier ce nombre de départ que l'on ne connaît pas. On le désigne par une lettre, et il devient l'inconnue du problème ¹. La lettre le plus souvent choisie en mathématiques est $x$ ¹. Rien ne t'empêche d'en prendre une autre ($n$, $a$, $t$…), mais $x$ est le réflexe de tous les mathématiciens.

Chercher un nombre qu'on ne connaît pas, ce n'est pas une idée d'aujourd'hui. Dès le IIIe siècle, le Grec Diophante imagine l'« arithme ». Cet objet est moins commode à manier que nos lettres, mais il annonce déjà l'inconnue telle qu'on la connaît ³.

Une bonne part du vocabulaire des équations, et l'image de la balance, nous vient d'Al-Khwârizmî, un mathématicien de langue arabe, et de ceux qui l'ont suivi ³.

Plus tard, au XVIIe siècle, Fermat emploie en France le mot « inconnue », tandis que Descartes adopte le symbole « x » ³. C'est pour cela qu'aujourd'hui encore, on écrit $x$ presque sans y penser.

Avec les nombres seuls, une égalité est vraie ou fausse, et cela ne change jamais : $2 + 2 = 4$ est vraie, $2 + 2 = 5$ est fausse.

Quand une lettre entre en jeu, la situation change. Une égalité contenant une inconnue ne peut pas être jugée vraie ou fausse avant qu'on ait choisi la valeur de la lettre. Ce statut d'inconnue bouscule d'ailleurs l'habitude de penser qu'une égalité est « toujours » vraie ².

Pour vérifier une valeur, tu n'as pas besoin de savoir résoudre l'équation. Il suffit de remplacer l'inconnue par cette valeur et de regarder si l'égalité obtenue est vraie. C'est précisément ce que font les enseignants quand ils demandent de tester la vérité d'une égalité en donnant une valeur à l'inconnue ².

Cette méthode de test est aussi une façon de chercher : si tu essaies plusieurs valeurs en les rangeant dans un tableau, tu peux repérer peu à peu la solution, comme dans l'exemple de la section précédente. Ce n'est pas la méthode la plus rapide, mais elle est toujours possible, et elle sert à vérifier une réponse trouvée autrement.

Beaucoup de problèmes sont énoncés par des mots. La première étape consiste à les transformer en équation : c'est ce qu'on appelle modéliser le problème, c'est-à-dire le traduire en équation du premier degré à une inconnue en vue de sa résolution ¹. Cela demande de donner du sens à l'inconnue et à l'égalité ¹.

On peut manipuler une inconnue presque comme un nombre. Il est possible d'additionner des termes qui la contiennent exactement comme si c'était un nombre, de la multiplier par 5 ou de la diviser par 6 ³. Une équation du premier degré a la forme suivante : chaque membre est une somme de termes qui sont soit un nombre multiplié par l'inconnue, soit un simple nombre ³.