Pavé droit et cube : exercices corrigés de 5e

Un pavé droit est délimité par six faces rectangulaires ⁴ : il a donc 6 faces.

Il possède huit sommets et douze arêtes ⁶ : 8 sommets et 12 arêtes.

Chaque face est un rectangle.

Les faces $ABCD$ et $EFGH$ sont opposées : elles n'ont aucun sommet en commun. Les faces opposées d'un pavé sont égales ⁶, donc $ABCD$ et $EFGH$ sont deux rectangles de mêmes dimensions, ici $7$ cm sur $5$ cm.

Les faces opposées étant égales, les arêtes vont par groupes de quatre : quatre arêtes de $7$ cm, quatre de $5$ cm, quatre de $2$ cm. On retrouve bien $4 + 4 + 4 = 12$ arêtes ⁶.

Longueur des arêtes de $7$ cm : $4 \times 7 = 28$ cm.

Longueur des arêtes de $5$ cm : $4 \times 5 = 20$ cm. Longueur des arêtes de $2$ cm : $4 \times 2 = 8$ cm.

Total : $28 + 20 + 8 = 56$ cm. On peut aussi écrire $4 \times (7 + 5 + 2) = 56$ cm.

Un cube est un pavé droit dont les six faces sont des carrés ⁴ : ses faces sont donc toutes des carrés égaux.

Comme c'est un pavé, il a douze arêtes ⁶, toutes de $6$ cm puisque les côtés d'un carré sont égaux.

Somme des arêtes : $12 \times 6 = 72$ cm.

Les faces opposées sont égales ⁶, donc les six faces forment trois paires de rectangles identiques.

Paire 1 (dessus et dessous) : $7 \times 5 = 35$ cm² par face.

Paire 2 (devant et derrière) : $7 \times 2 = 14$ cm² par face. Paire 3 (côtés gauche et droit) : $5 \times 2 = 10$ cm² par face.

Aire totale : $2 \times (35 + 14 + 10) = 2 \times 59 = 118$ cm².

Le fond mesure $9$ cm sur $4$ cm : on place $9$ cubes par rangée et $4$ rangées, soit $9 \times 4 = 36$ cubes.

La hauteur de la boîte est $3$ cm et chaque couche mesure $1$ cm : on empile $3$ couches.

Nombre total de cubes : $36 \times 3 = 108$. Chaque cube a un volume de $1$ cm³.

Le volume de la boîte est donc $9 \times 4 \times 3 = 108$ cm³.

Un cube est un pavé droit particulier ⁴ : on applique la même méthode avec trois dimensions égales à $5$ cm.

Volume : $5 \times 5 \times 5 = 125$ cm³.

Avec une arête de $10$ cm : $10 \times 10 \times 10 = 1\,000$ cm³.

Comme $1\,000 \div 125 = 8$, le volume est multiplié par $8$, pas par $2$.

Une couche au fond contient $6 \times 5 = 30$ cubes de $1$ cm³, donc $30$ cm³.

Le volume total est $150$ cm³ : le nombre de couches est $150 \div 30$.

$150 \div 30 = 5$ : on empile $5$ couches.

Chaque couche mesure $1$ cm, donc la hauteur est de $5$ cm. Vérification : $6 \times 5 \times 5 = 150$ cm³.

Les six faces sont des carrés égaux ⁴ : l'aire d'une face vaut $96 \div 6 = 16$ cm².

Une face est un carré d'aire $16$ cm². Comme $4 \times 4 = 16$, l'arête mesure $4$ cm.

Volume : $4 \times 4 \times 4 = 64$ cm³.

Contrôle : six faces de $16$ cm² donnent $96$ cm², ce qui correspond à l'énoncé.

Dans la longueur : $20 \div 4 = 5$ morceaux.

Dans la largeur : $12 \div 2 = 6$ morceaux.

Dans la hauteur : $9 \div 1 = 9$ morceaux.

Total : $5 \times 6 \times 9 = 270$ morceaux.

Contrôle par les volumes : la boîte fait $20 \times 12 \times 9 = 2\,160$ cm³, un morceau $4 \times 2 \times 1 = 8$ cm³, et $2\,160 \div 8 = 270$.