Parallélogramme : définition et propriétés, cours de 5e

Tu connais déjà le carré, le rectangle et le losange. Le parallélogramme est une figure plus générale : il possède moins de contraintes, mais assez pour qu'on puisse dire beaucoup de choses sur lui. Ce chapitre t'apprend à reconnaître un parallélogramme, à utiliser ses propriétés pour calculer des longueurs et des angles, et à rédiger une justification propre.

Il y a aussi un enjeu de méthode. Au cycle 4, les professeurs insistent sur la différence de statut entre une définition, une propriété et une procédure.¹ Le parallélogramme est un excellent terrain pour comprendre cette différence : on part d'une définition courte, puis on en tire une série de propriétés utiles.

Ce cours prépare directement deux chapitres à venir : les parallélogrammes particuliers (rectangle, losange, carré) et l'aire du parallélogramme.

Décortiquons cette phrase. Un quadrilatère est une figure fermée à quatre côtés. Dans un quadrilatère $ABCD$, les côtés $[AB]$ et $[CD]$ sont opposés, tout comme $[BC]$ et $[AD]$. Dire que les côtés opposés sont parallèles signifie ici que $(AB) // (CD)$ et que $(BC) // (AD)$.

Les deux conditions sont nécessaires. Un trapèze, par exemple, a deux côtés parallèles, mais ses deux autres côtés ne le sont pas forcément : un trapèze n'est donc pas toujours un parallélogramme.

Une définition est un choix de départ : elle donne son nom à un objet en indiquant ce qui le caractérise. Une propriété est un résultat qu'on déduit ou qu'on admet, une fois l'objet défini. Les programmes demandent de bien distinguer ces deux statuts.¹

Pour le parallélogramme, la définition est celle des côtés opposés parallèles.² Tout le reste (longueurs égales, angles égaux, diagonales) est une propriété. Cela signifie qu'on ne peut pas utiliser une propriété comme si elle faisait partie de la définition.

Si $ABCD$ est un parallélogramme, on écrit donc $AB = CD$ et $BC = AD$. Pour les angles, $\widehat{A} = \widehat{C}$ et $\widehat{B} = \widehat{D}$.

Attention à ne pas mélanger : les angles opposés sont ceux qui se font face (en $A$ et en $C$), pas ceux qui sont voisins.

Notons $O$ le point où se coupent les diagonales $[AC]$ et $[BD]$. Dire que $O$ est le milieu de chacune se traduit par :

$OA = OC \qquad \text{et} \qquad OB = OD.$

Le point $O$ est aussi le centre de symétrie : la symétrie centrale de centre $O$ envoie $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$. Voilà pourquoi la figure se superpose à elle-même quand on la fait tourner d'un demi-tour autour de $O$.

Cette propriété est très pratique pour calculer : si on connaît une demi-diagonale, on connaît la diagonale entière en la doublant.

Au programme de 5e, tu dois savoir identifier un parallélogramme grâce à la définition ou à une propriété qui le caractérise, en lisant les codages de la figure.¹ Tu dois aussi connaître les propriétés caractéristiques liées aux côtés opposés et aux diagonales.¹

En pratique, tu as deux moyens :

• vérifier la définition : les deux paires de côtés opposés sont parallèles ;
• appliquer une propriété caractéristique étudiée en classe, sur les côtés opposés ou sur les diagonales, à condition que le quadrilatère ne soit pas croisé.²

Le parallélogramme est le point de départ d'une petite famille de figures. Un rectangle, un losange et un carré sont des parallélogrammes particuliers : ils héritent donc de toutes les propriétés vues ici.³ Le carré est même à la fois un losange et un rectangle.³

Cela te donne une règle simple pour réviser : toute propriété du parallélogramme est valable pour ces trois figures, alors que l'inverse est faux.