Parallélogramme : définition et propriétés, exercices de 5e

Les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur. $[AB]$ et $[CD]$ sont opposés, donc $CD = AB = 7$ cm.

De même $[BC]$ et $[AD]$ sont opposés, donc $AD = BC = 4$ cm.

Le périmètre est la somme des quatre côtés : $7 + 4 + 7 + 4 = 22$ cm. On peut aussi écrire $2 \times (7 + 4) = 22$ cm.

Dans $EFGH$, le sommet opposé à $F$ est $H$, car les sommets se suivent dans l'ordre $E$, $F$, $G$, $H$.

Les angles opposés d'un parallélogramme ont la même mesure.

Donc $\widehat{EHG} = \widehat{EFG} = 65^\circ$.

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : $O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$.

Donc $OA = AC \div 2 = 10 \div 2 = 5$ cm.

Donc $OB = BD \div 2 = 7{,}4 \div 2 = 3{,}7$ cm.

Le point d'intersection des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.

Le symétrique de $A$ par rapport à $O$ est le point $C$ : $O$ est le milieu de $[AC]$.

Le symétrique de $B$ est $D$ : $O$ est le milieu de $[BD]$. Donc $OB = OD = 2{,}5$ cm.

$AC = 2 \times OA = 6$ cm et $BD = 2 \times OD = 5$ cm.

La somme vaut $6 + 5 = 11$ cm.

Les côtés opposés ont la même longueur : il y a donc deux côtés de 9 cm.

Ils mesurent ensemble $9 + 9 = 18$ cm.

Il reste $30 - 18 = 12$ cm pour les deux autres côtés, qui sont égaux entre eux.

Chacun mesure donc $12 \div 2 = 6$ cm.

Comme $CD = AB$ et $AD = BC$, le périmètre vaut $2 \times (x + x + 3) = 2 \times (2x + 3) = 4x + 6$.

On résout $4x + 6 = 34$, donc $4x = 28$ et $x = 7$.

Alors $AB = CD = 7$ cm et $BC = AD = 7 + 3 = 10$ cm.

Vérification : $7 + 10 + 7 + 10 = 34$ cm.

Cas 1 : les deux paires de côtés opposés sont parallèles. C'est la définition du parallélogramme, donc $EFGH$ en est un ².

Cas 2 : les diagonales se coupent en leur milieu. On utilise ici une propriété caractéristique portant sur les diagonales, du programme de 5e ¹. Le quadrilatère étant non croisé, $MNPQ$ est un parallélogramme.

Cas 3 : une seule paire de côtés opposés égaux ne suffit pas. On peut dessiner un quadrilatère avec $RS = UT$ qui n'a aucun côté parallèle à un autre : l'information est insuffisante.

On ne peut donc rien affirmer dans le cas 3.

Léa part d'une propriété qui s'applique quand on sait déjà qu'on a un parallélogramme : les côtés opposés ont la même longueur ².

Elle l'utilise dans l'autre sens, de l'égalité des côtés vers le parallélogramme. Or la phrase qu'elle cite part d'un parallélogramme déjà connu : pour conclure, il faut citer la propriété réciproque, pas la propriété directe.

Pour rendre le raisonnement juste, il faut préciser que $ABCD$ est non croisé et écrire : « Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, alors c'est un parallélogramme. » Ici $AB = CD$ et $BC = AD$, donc $ABCD$ est un parallélogramme ¹².

Un codage soigné de la figure (marques sur les côtés égaux, repérage des parallèles) aide à choisir la bonne propriété ¹.