Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un rectangle est un parallélogramme qui a au moins un angle droit, ou dont les diagonales ont la même longueur 64.
Un losange est un parallélogramme qui a au moins deux côtés consécutifs de même longueur, ou dont les diagonales sont perpendiculaires 64.
Le carré est à la fois un rectangle et un losange : il a donc toutes leurs propriétés 4.
Tout parallélogramme particulier garde les propriétés du parallélogramme : diagonales qui se coupent en leur milieu, côtés opposés parallèles et de même longueur 6.
Pour démontrer, on part d'un parallélogramme (déjà prouvé), puis on ajoute une condition : angle droit, diagonales égales, côtés consécutifs égaux ou diagonales perpendiculaires 4. Pour le carré, il en faut deux : une du rectangle et une du losange.
Introduction : pourquoi des parallélogrammes « particuliers » ?
Tu connais déjà le parallélogramme. Ce cours présente trois figures très familières : le rectangle, le losange et le carré. Depuis l'école primaire, tu les reconnais sans doute à leur aspect. Au collège, l'exigence change : dire « ça se voit » ne suffit plus, il faut justifier avec une propriété.
Bonne nouvelle : ces trois figures ne forment pas de nouvelles familles à retenir par cœur. Ce sont des parallélogrammes auxquels on ajoute une condition. Elles héritent donc de tout ce que tu sais déjà. Tu retiens une seule fois la liste des propriétés du parallélogramme, puis un petit complément pour chaque cas particulier.
À la fin du cours, tu sauras :
reconnaître et définir un rectangle, un losange, un carré ;
citer leurs propriétés, surtout celles des diagonales ;
prouver qu'un parallélogramme est l'une de ces trois figures ;
éviter les erreurs de raisonnement les plus courantes.
Rappel : le parallélogramme et ses propriétés
Le rectangle
Pourquoi « au moins un » suffit-il ? Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires. Si l'un vaut 90∘, son voisin vaut 180∘−90∘=90∘. L'angle opposé est égal au premier, et le dernier angle égal au voisin. Un seul angle droit entraîne donc les quatre. Cette remarque explique aussi le mot « rectangle » : ses quatre angles sont droits.
Le losange
Là encore, « deux côtés » suffisent. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux. Si deux côtés qui se suivent ont la même longueur, alors chacun des deux autres leur est égal. Les quatre côtés ont donc la même longueur, ce qui s'écrit : un losange est équilatéral6.
Le carré
Comment les ranger : la hiérarchie des figures
On peut classer ces figures comme des poupées russes. Le parallélogramme est la plus grande famille. Dedans se trouvent le rectangle et le losange. À l'intersection des deux, on trouve le carré.
Cette hiérarchie se lit avec des phrases du type « est un … particulier » : le rectangle est un parallélogramme particulier, le losange aussi, et le carré est un rectangle particulier comme un losange particulier 4.
Les parallélogrammes particuliers
Figure
Condition ajoutée
Diagonales
Rectangle
Un angle droit
Même longueur
Losange
Deux côtés consécutifs égaux
Perpendiculaires
Carré
Rectangle et losange
Égales et perpendiculaires
Les parallélogrammes particuliers · Chaque figure hérite des propriétés du parallélogramme.
Méthode : rédiger une démonstration
RepérerLister les données de l'énoncé
ParallélogrammeProuver que c'est un parallélogramme
PropriétéChoisir la propriété adaptée
ConclureCiter la propriété et conclure
Démontrer une nature de figure · Un schéma à suivre pour chaque démonstration.
Les pièges à éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Calculer un angle
★☆☆Environ 5 min
On sait seulement que ABCD est un parallélogramme dont l'angle A mesure 70∘. Peut-il être un rectangle ? Pour répondre, calcule d'abord la mesure de l'angle B dans un parallélogramme de ce type.
Indice 1
Deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires.
Voir la correction pas à pas
Les angles A et B se suivent dans le parallélogramme, donc ils sont supplémentaires.
On calcule : B=180∘−70∘=110∘.
Aucun des angles 70∘ ou 110∘ n'est droit, donc ce parallélogramme n'est pas un rectangle.
L'angle B mesure 110∘ : le parallélogramme n'a pas d'angle droit, ce n'est pas un rectangle.
Exercice 2 Périmètre d'un losange
★★☆Environ 8 min
ABCD est un parallélogramme tel que AB=4,5 cm et BC=4,5 cm. Quelle est sa nature ? Calcule son périmètre en cm.
Indice 1
Regarde si les côtés égaux sont consécutifs.
Indice 2
Un losange a quatre côtés de même longueur.
Voir la correction pas à pas
[AB] et [BC] se suivent en B : ce sont deux côtés consécutifs, de même longueur.
Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange : ABCD est un losange.
Ses quatre côtés sont égaux à 4,5 cm.
Périmètre : 4×4,5=18 cm.
ABCD est un losange de périmètre 18 cm.
Exercice 3 Quelle nature pour ce quadrilatère ?
★★★Environ 12 min
Le quadrilatère EFGH a ses diagonales [EG] et [FH] qui se coupent en leur milieu O. On sait que EG=8 cm, FH=8 cm et (EG)⊥(FH). Quelle est la nature exacte de EFGH ? Rédige la démonstration.
Indice 1
Commence par montrer que c'est un parallélogramme.
Indice 2
Utilise ensuite chaque information séparément : les diagonales égales, puis les diagonales perpendiculaires.
Voir la correction pas à pas
Les diagonales de EFGH se coupent en leur milieu : c'est donc un parallélogramme.
C'est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur (8 cm) : c'est un rectangle.
C'est aussi un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires : c'est un losange.
Il est à la fois rectangle et losange : c'est un carré.
EFGH est un carré. Les trois informations (milieu, égalité, perpendicularité) sont toutes nécessaires.
Quiz
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle 4. Les côtés consécutifs égaux caractérisent le losange, pas le rectangle. Les diagonales qui se coupent en leur milieu et les côtés opposés parallèles sont déjà vrais dans tout parallélogramme, donc ils ne distinguent rien.
Des diagonales perpendiculaires caractérisent le losange 4. Ce n'est pas forcément un rectangle ni un carré : il faudrait pour cela une information supplémentaire, comme un angle droit.
C'est vrai : le carré est un rectangle particulier et aussi un losange particulier, il en a donc toutes les propriétés 4. L'erreur serait de croire que carré et rectangle sont deux familles séparées.
C'est faux. Un rectangle de longueur 6 cm et de largeur 3 cm a quatre angles droits mais des côtés consécutifs de longueurs différentes : ce n'est pas un losange, donc pas un carré. Dans l'autre sens, un carré est bien un rectangle 4.
Deux angles qui se suivent dans un parallélogramme sont supplémentaires 6, donc B=180−50=130. Réponse tentante mais fausse : 50, qui est la mesure de l'angle opposé, pas du voisin.
La caractérisation dit : un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle 4. Sans la condition de parallélogramme, la conclusion n'est pas permise. Les diagonales d'un rectangle ne sont perpendiculaires que si c'est un carré.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre un losange et un carré ?
Le losange a quatre côtés de même longueur 6. Le carré a en plus quatre angles droits : il est à la fois losange et rectangle 4. Un losange sans angle droit n'est donc pas un carré.
Comment savoir quelle propriété utiliser dans une démonstration ?
Regarde ce que l'énoncé te donne. S'il parle d'angle droit ou de diagonales égales, tu vises le rectangle. S'il parle de côtés consécutifs égaux ou de diagonales perpendiculaires, tu vises le losange 4. Dans tous les cas, commence par établir que c'est un parallélogramme.
Pourquoi faut-il toujours commencer par le parallélogramme ?
Parce que toutes les caractérisations du cours s'appliquent à un parallélogramme 4. Un quadrilatère quelconque qui a un angle droit ou deux côtés égaux n'est pas forcément un rectangle ou un losange.
Un rectangle a-t-il les propriétés du parallélogramme ?
Oui. Le rectangle est un parallélogramme particulier, donc il en possède toutes les propriétés : côtés opposés parallèles et de même longueur, diagonales qui se coupent en leur milieu, centre de symétrie 46.