Parallélogrammes particuliers : exercices corrigés de 5e

Les angles $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ se suivent dans le parallélogramme $ABCD$.

Dans un parallélogramme, deux angles qui se suivent sont supplémentaires.⁶

Leur somme vaut donc $180^\circ$.

On calcule : $\widehat{B}=180^\circ-65^\circ=115^\circ$.

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.⁶

Le point $O$ est donc le milieu de $[AC]$.

On a donc $OA = \dfrac{AC}{2}$.

On calcule : $OA = 9{,}4 \div 2 = 4{,}7$ cm.

Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.⁶

$ABCD$ est donc un parallélogramme.

Ses côtés $[AB]$ et $[BC]$ sont consécutifs et ont la même longueur, 5 cm.

Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.⁶

$ABCD$ est donc un losange, et ses quatre côtés mesurent 5 cm.

$EFGH$ est un parallélogramme qui a un angle droit : c'est un rectangle.⁶

Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur.⁶

On a donc $GH = EF = 7$ cm et $HE = FG = 3$ cm.

Le périmètre est la somme des quatre côtés : $7+3+7+3 = 20$ cm.

On peut aussi écrire $2\times(7+3)=20$ cm.

$[AB]$ et $[BC]$ sont deux côtés consécutifs de même longueur dans un parallélogramme.

Un tel parallélogramme est un losange.⁶

Un losange est équilatéral : ses quatre côtés ont la même longueur.⁶

Chaque côté mesure donc $6{,}5$ cm.

Le périmètre est $4 \times 6{,}5 = 26$ cm.

$MNPQ$ est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur : c'est un rectangle.⁴

Ses quatre angles sont donc droits, car il a un angle droit et les angles qui se suivent sont supplémentaires.⁶

Ses diagonales sont aussi perpendiculaires : c'est un losange.⁴

Un losange est équilatéral : ses quatre côtés sont égaux.⁶

$MNPQ$ a donc quatre côtés égaux et quatre angles droits : c'est un carré, à la fois rectangle et losange.⁴

Dans un parallélogramme, les angles qui se suivent sont supplémentaires.⁶

On écrit : $(3x+10)+(2x+20)=180$.

On réduit : $5x+30=180$, donc $5x=150$.

On divise par 5 : $x=30$.

On remplace dans $\widehat{A}$ : $3\times 30+10=100$.

Vérification : $\widehat{B}=2\times 30+20=80$, et $100+80=180$.

$O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$ : les diagonales se coupent en leur milieu.

$ABCD$ est donc un parallélogramme.⁶

On calcule : $AC = 2\times 4{,}2 = 8{,}4$ cm.

De même, $BD = 2\times 4{,}2 = 8{,}4$ cm.

Le parallélogramme $ABCD$ a ses diagonales de même longueur : c'est un rectangle.⁴

Un losange est équilatéral : ses quatre côtés sont égaux.⁶

Prenons un rectangle de longueur 7 cm et de largeur 3 cm.

Ses côtés consécutifs mesurent 7 cm et 3 cm : ils sont différents.

Ce rectangle n'a donc pas deux côtés consécutifs égaux : ce n'est pas un losange.

L'affirmation de Tarek est fausse.

Pour le carré, on peut dire qu'il est un losange particulier et un rectangle particulier.⁴

Un rectangle est un parallélogramme : ses diagonales se coupent en leur milieu en $O$.⁶

Ce parallélogramme a des diagonales perpendiculaires : c'est un losange.⁴

$ABCD$ est donc à la fois un rectangle et un losange : c'est un carré.⁴

Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur, donc $BD = AC = 10$ cm.

$O$ est le milieu de $[BD]$ : $OB = 10 \div 2 = 5$ cm.