Les puissances de 10 : cours de 5e

Tu connais déjà le carré et le cube d'un nombre, notés $5^2$ et $5^3$. La notion générale de puissance n'intervient pas au cycle 3 : c'est au cycle 4 qu'on l'introduit.¹ Dans ce cours, tu prolonges ce que tu connais du carré et du cube, en te concentrant sur un nombre très pratique : 10.

Pourquoi 10 ? Parce que notre écriture des nombres est décimale. Chaque rang (unités, dizaines, centaines, milliers…) vaut dix fois le précédent. Les puissances de 10 décrivent donc très naturellement ces rangs. Elles permettent aussi d'écrire un grand nombre en peu de signes : au lieu de compter huit zéros, on écrit un petit chiffre en haut à droite.

Le programme prévoit d'abord des puissances de 10 dont l'exposant est un entier naturel, en s'appuyant sur l'écriture décimale des nombres.¹ Les exposants négatifs viennent plus tard, en fin de 4e ou en début de 3e.¹ Tu n'as donc pas à t'en occuper ici : tout ce qui suit utilise des exposants positifs ou nul.

Tu connais déjà deux cas particuliers : le carré est une puissance d'exposant 2 et le cube une puissance d'exposant 3.³ Ainsi $4^2 = 4 \times 4 = 16$ et $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.

L'exposant 1 se comprend bien : il n'y a qu'un seul facteur, donc rien à multiplier. L'exposant 0 est différent. On ne peut pas écrire « zéro facteur » comme une multiplication, alors on décide que le résultat vaut 1. C'est une convention, pas un calcul.

Calculons les premières puissances de 10 en multipliant 10 par lui-même.

$10^1 = 10$ $10^2 = 10 \times 10 = 100$ $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$ $10^4 = 10\,000 \qquad 10^5 = 100\,000 \qquad 10^6 = 1\,000\,000$

À chaque fois que l'exposant augmente de 1, on multiplie par 10 de plus : on ajoute donc un zéro à droite.

On rencontre très souvent des écritures du type $3 \times 10^4$. Ici, la puissance a priorité sur la multiplication : on calcule d'abord $10^4$, puis on multiplie.³ Ainsi $3 \times 10^4 = 3 \times 10\,000 = 30\,000$.

Multiplier un nombre entier par $10^n$ revient à placer $n$ zéros à sa droite.

Pour multiplier deux puissances de 10, il suffit de revenir à la définition. Le programme précise que les calculs sur les puissances découlent de la définition ; apprendre par cœur des formules générales n'est pas demandé.² Tu raisonnes donc en comptant les facteurs 10.

Les puissances de 10 fournissent une manière commode de repérer les ordres de grandeur.¹ Estimer un ordre de grandeur permet aussi de vérifier qu'un résultat est vraisemblable.² Par exemple, si tu calcules le nombre d'élèves d'un collège et que tu trouves $10^6$, tu sais immédiatement que quelque chose ne va pas : cela ferait un million d'élèves.

Ces puissances servent aussi en physique et en chimie, où elles sont d'un emploi régulier.³ Tu les retrouveras avec les unités : les préfixes comme kilo ou méga se définissent avec des puissances de 10.²

Pour être à l'aise avec les puissances de 10, quelques réflexes suffisent. Avant de calculer, repère toujours la base et l'exposant. Ensuite, demande-toi : combien de facteurs 10 ai-je ici ? Cette seule question évite la plupart des erreurs, parce qu'elle te ramène à la définition.

Prends un exemple : $10^8$. L'exposant est 8, donc il y a huit facteurs 10. Le nombre s'écrit avec un 1 suivi de huit zéros : $100\,000\,000$, c'est-à-dire cent millions. Dans l'autre sens, si tu lis $1\,000\,000\,000\,000$, tu comptes les zéros : il y en a douze, donc c'est $10^{12}$.