Mathématiques · 5e
Démontrer en géométrie : cours de 5e
Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Démontrer, c'est enchaîner des arguments et des propriétés pour prouver qu'une affirmation est vraie, sans se fier au dessin seul.1
- Chaque pas de la démonstration suit le schéma : ce que je sais (données), la propriété que j'utilise, ce que j'en déduis.
- Une propriété utilisée doit être connue du cours : on précise si elle est admise ou démontrée.1
- Un exemple ou une mesure ne prouvent rien en général : pour une propriété générale, on utilise une lettre.2
- Une bonne rédaction se termine par une conclusion claire qui répond exactement à la question posée.
Pourquoi démontrer ?
Depuis l'école primaire, tu observes des figures, tu les traces et tu les mesures. Au collège, on te demande peu à peu autre chose : prouver qu'une affirmation est vraie. Le programme de cycle 4 fixe d'ailleurs comme objectif majeur à la géométrie de t'amener à mener des raisonnements et à entrer dans la preuve.1 Cette transition a commencé en 6e et se fait progressivement.1
Tu passes ainsi d'une géométrie que tu perçois et que tu contrôles avec tes instruments à une géométrie plus abstraite, contrôlée par le raisonnement.3 Cela ne veut pas dire que tu abandonnes le dessin : il reste ton meilleur ami pour avoir des idées. Mais il ne suffit plus pour conclure.
Pourquoi ne pas se contenter de mesurer ? Parce qu'une mesure est toujours approchée. Deux segments qui te paraissent parallèles sur ta feuille peuvent ne l'être que « à peu près ». Et surtout, une figure particulière ne dit rien sur toutes les autres. Une démonstration, elle, vaut pour toutes les figures qui respectent les mêmes hypothèses.
Les trois ingrédients d'une démonstration
Toute démonstration repose sur trois éléments que tu dois savoir repérer dès la lecture de l'énoncé.
Le cœur du raisonnement est un petit mécanisme : si les conditions de la propriété sont toutes présentes dans tes données, alors tu peux écrire sa conséquence. Ce mécanisme s'appelle la déduction. Une démonstration est une chaîne de déductions : la conclusion d'un pas devient une donnée du pas suivant.
Les erreurs de logique à éviter
Beaucoup de démonstrations échouent non pas à cause d'un calcul, mais à cause d'un raisonnement qui ne tient pas. Voici les trois pièges les plus courants.
Méthode pour rédiger une démonstration
- DonnéesLister ce que l'énoncé assure
- PropriétéChoisir un « si… alors… » du cours
- DéductionVérifier les conditions, conclure le pas
- ConclusionRépondre exactement à la question
Démontrer une propriété générale avec une lettre
Il n'y a pas que la géométrie : on démontre aussi des propriétés sur les nombres. En 5e, on t'apprend à utiliser une lettre pour traduire une propriété générale et pour la démontrer.2 La lettre représente n'importe quel nombre : ce qu'on démontre vaut donc pour tous.
Le bon réflexe : tester quelques valeurs pour deviner une propriété (c'est la conjecture), puis démontrer avec une lettre. L'étape de test sert à avoir l'idée, l'étape de calcul sert à la prouver. Pour montrer qu'une affirmation est fausse, on utilise au contraire un contre-exemple : un seul cas où elle ne marche pas suffit.
Le rôle des transformations et du parallélisme
Pour démontrer en géométrie, tu t'appuies sur ce que tu as appris des figures et des transformations. Au programme de 5e, tu étudies l'effet des symétries axiale et centrale sur les figures, avec notamment la conservation du parallélisme.2 Concrètement, si deux droites sont parallèles, leurs symétriques le sont aussi : cette propriété peut devenir un argument dans une démonstration, à condition de la citer.
Bien rédiger : modèles de phrases
La qualité d'une démonstration tient aussi à la clarté de l'écriture. Un lecteur doit pouvoir suivre sans deviner. Voici des formules qui t'aident à structurer.
Exercices corrigés
Exercice 1 Deux entiers consécutifs
Démontre que la somme de deux entiers consécutifs est toujours un nombre impair, en utilisant une lettre. Tu écriras d'abord deux exemples numériques de ton choix.
Indice 1
Appelle le plus petit des deux entiers. Que vaut le suivant ?
Indice 2
Un nombre impair s'écrit avec entier.
Voir la correction pas à pas
Exemples : et . Les deux résultats sont impairs, ce qui donne l'idée de la propriété, mais ne prouve rien.
Soit un entier. Les deux entiers consécutifs sont et .
Leur somme vaut .
Comme est entier, est pair, donc est un nombre impair.
Conclusion : la somme de deux entiers consécutifs est toujours impaire.
Le calcul avec vaut pour tous les entiers, alors que les exemples ne vérifiaient que deux cas.
Exercice 2 Trois entiers consécutifs
- Calcule la somme .
- Démontre que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.
Indice 1
Pour trois entiers consécutifs, choisis la lettre pour l'entier du milieu.
Indice 2
Que vaut une fois les termes regroupés ?
Voir la correction pas à pas
Calcul : .
Vérification : , donc 75 est un multiple de 3 ; le nombre du milieu est 25.
Soit l'entier du milieu. Les trois entiers sont , et .
Leur somme vaut .
Comme avec entier, la somme est un multiple de 3.
La somme de trois entiers consécutifs vaut trois fois l'entier du milieu, pour n'importe quels trois entiers de suite.
Exercice 3 Quatre entiers consécutifs
Léa affirme : « la somme de quatre entiers consécutifs est toujours un multiple de 4 ». Elle n'a vérifié sa phrase sur aucun exemple.
- Calcule .
- Léa a-t-elle raison ? Démontre ta réponse en utilisant une lettre pour écrire la somme de quatre entiers consécutifs.
Indice 1
Appelle le plus petit des quatre entiers et écris les trois suivants.
Indice 2
Compare avec un multiple de 4 : que dit le reste de la division par 4 ?
Voir la correction pas à pas
Calcul : .
Or : ce n'est pas un multiple de 4. Un seul exemple suffit ici pour contredire l'affirmation de Léa.
Cherchons la forme générale. Soit un entier : la somme de , , , vaut .
Comme est un multiple de 4 et que 6 ne l'est pas, n'est jamais un multiple de 4.
Conclusion : Léa a tort. La somme est toujours un nombre pair, car .
Un exemple a suffi pour montrer que l'affirmation est fausse, et la lettre a permis de comprendre pourquoi. Tu retrouveras cette idée dans le chapitre sur le contre-exemple.
Quiz
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Cette phrase est un énoncé « si… alors… » du cours : c'est la propriété qui fait passer des données à la conclusion. Ce n'est pas une donnée, car l'énoncé ne la fournit pas, et ce n'est pas une observation de la figure, qui ne prouve rien.
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Une mesure est toujours approchée et concerne une seule figure. Mesurer plus souvent ou plus précisément ne change pas la nature de l'argument : il faut une propriété qui garantit l'égalité.
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Deux entiers consécutifs sont et , et leur somme vaut , de la forme impaire. correspond à deux entiers qui se suivent de deux en deux, donc pas consécutifs.
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Faux. Trois exemples servent à formuler une conjecture, pas à la prouver. Seul un calcul avec une lettre couvre tous les entiers.
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Les trois entiers sont 31, 32 et 33 : leur somme est . C'est bien , trois fois l'entier du milieu. Ne confonds pas avec , qui ne correspond pas à trois entiers qui se suivent.
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Une donnée, une propriété du cours et une conclusion ont leur place. « On voit sur la figure » est une observation qui n'a de valeur que comme idée à vérifier, pas comme argument.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir quelle propriété utiliser ?
Regarde la conclusion que tu veux obtenir (par exemple « les droites sont parallèles ») et cherche, dans ton cours, les propriétés dont c'est la conséquence. Vérifie ensuite quelles conditions il te manque, puis établis-les par une première déduction. Faire la liste des données codées sur la figure aide beaucoup.
Faut-il tout redémontrer à chaque fois ?
Non. Le programme distingue les propriétés admises de celles qui sont démontrées,1 mais dans les deux cas tu peux les citer une fois qu'elles ont été vues en cours. Tu ne redémontres que ce que l'énoncé te demande explicitement de prouver.
Pourquoi ne suffit-il pas de tester avec des nombres ?
Parce que tester quelques valeurs ne dit rien des autres. Pour une propriété générale, on utilise une lettre qui représente n'importe quel nombre.2 Les tests servent seulement à émettre une idée avant de la prouver.
Que faire si je suis bloqué dans une démonstration ?
Reprends la figure, code toutes les données et écris au brouillon la propriété qui donnerait directement la conclusion. Cherche ensuite ce qu'il te manque pour l'appliquer. Si rien ne vient, relis l'énoncé : une donnée inutilisée est souvent un indice.
Est-ce que la figure sert encore, si on ne peut pas se fier au dessin ?
Oui. Au cycle 4, la géométrie s'appuie encore sur ce que l'on perçoit et contrôle avec des instruments, tout en s'orientant vers un raisonnement plus abstrait.3 La figure te donne des idées et sert à coder les données, mais la conclusion vient du raisonnement.
Sources
Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 (5e) : Espace et géométrie, Raisonnement · education.gouv.fr
- Programme de mathématiques pour le cycle 4 (5e) : Espace et géométrie, Raisonnement, education.gouv.fr. Consulté le 10 novembre 2026.
- 5e Mathématiques : Attendus de fin d'année, eduscol.education.fr. Consulté le 10 novembre 2026.
- MATHÉMATIQUES Espace et géométrie : Informer et accompagner, eduscol.education.fr. Consulté le 10 novembre 2026.
- Intentions majeures : Raisonnement et démonstration, eduscol.education.fr. Consulté le 10 novembre 2026.
- Géométrie non euclidienne, Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.
- Géométrie hyperbolique, Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.
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