Démontrer en géométrie : exercices corrigés de 5e

Soit $n$ un entier quelconque. Son consécutif est $n+1$.

La somme vaut $n+(n+1)$.

On réduit : $n+(n+1)=2n+1$.

Comme $n$ est un entier, $2n+1$ s'écrit sous la forme $2k+1$ avec $k=n$.

Conclusion : la somme de deux entiers consécutifs est impaire, quel que soit $n$.

On sait que $\widehat{A}=50^\circ$ et $\widehat{B}=65^\circ$.

Or la somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$.

Donc $\widehat{C}=180-50-65=65^\circ$.

On sait que $\widehat{B}=\widehat{C}=65^\circ$.

Or un triangle qui a deux angles égaux est isocèle.

Donc $ABC$ est isocèle en $A$ : $AB=AC$.

Soit $n$ l'entier du milieu. Les trois entiers consécutifs sont $n-1$, $n$ et $n+1$.

Leur somme vaut $(n-1)+n+(n+1)$.

On réduit : les termes $-1$ et $+1$ s'annulent, il reste $n+n+n=3n$.

Comme $n$ est entier, $3n$ est un multiple de 3.

Vérification avec 7, 8 et 9 : $7+8+9=24=3\times 8$, ce qui est bien le triple de l'entier du milieu.

Pour que $(d)\parallel(d')$, il suffit que les angles alternes internes soient égaux.

On écrit : $4x+10=6x-30$.

On regroupe : $10+30=6x-4x$, soit $40=2x$.

Donc $x=20$.

Mesure commune : $4\times 20+10=90^\circ$, et $6\times 20-30=90^\circ$.

Les deux angles valent $90^\circ$ : les droites sont parallèles pour $x=20$.

On sait que $O$ est le milieu de $[AC]$ et aussi le milieu de $[BD]$.

Or un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme.

Donc $ABCD$ est un parallélogramme.

Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur : $CD=AB=7$ cm et $AD=BC=4$ cm.

Le périmètre vaut $AB+BC+CD+DA=7+4+7+4=22$ cm, soit $2\times(7+4)$.

Le point $O$ est le milieu de $[AC]$, donc le symétrique de $A$ par rapport à $O$ est $C$.

Le point $O$ est aussi le milieu de $[BD]$, donc le symétrique de $B$ est $D$.

Une droite est déterminée par deux de ses points : l'image de $(AB)$ est la droite $(CD)$.

Or, propriété admise : une symétrie centrale transforme une droite en une droite qui lui est parallèle.

Donc $(AB)\parallel(CD)$.