Mathématiques · 5e
Démontrer en géométrie : quiz de 5e
Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Démontrer, c'est enchaîner des arguments et des propriétés pour arriver à une conclusion certaine, pas la constater sur un dessin.
- Une démonstration part des données de l'énoncé, appelle une propriété précise, puis écrit la conclusion qui en découle.
- Pour un résultat général sur les nombres, on utilise une lettre : un exemple chiffré ne prouve rien pour tous les cas.
- Une propriété utilisée sans preuve doit être signalée comme admise.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur la démonstration en géométrie telle qu'elle se travaille en 5e. En classe, on te demande de plus en plus de justifier au lieu de simplement constater : le programme parle de démontrer par un enchaînement logique d'arguments et de propriétés 1. Les questions testent donc ta façon de raisonner, pas ta mémoire d'un cours précis.
Au cycle 4, tu passes peu à peu d'une géométrie que tu perçois et contrôles avec tes instruments à une géométrie plus abstraite, contrôlée par le raisonnement 3. Ce quiz t'aide à vérifier que tu as bien fait ce passage : tu sauras distinguer ce que tu vois sur une figure de ce que tu prouves.
Quiz
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Démontrer, c'est construire un enchaînement logique d'arguments et de propriétés qui mène à la conclusion 1. Mesurer, vérifier sur plusieurs dessins ou tracer avec soin donnent des indices, mais un dessin reste imprécis et ne couvre pas tous les cas : ce ne sont donc pas des preuves.
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C'est faux. Une mesure est approximative et ne vaut que pour le dessin que tu as sous les yeux. Une démonstration doit s'appuyer sur les données de l'énoncé et sur des propriétés. La mesure peut te donner une idée à prouver, rien de plus.
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Une étape se rédige ainsi : on rappelle ce qu'on sait (donnée), on cite la propriété qui s'applique, puis on écrit ce qui en découle. Commencer par la conclusion revient à affirmer sans justifier ; ajouter une mesure ne change pas le raisonnement, cela le fragilise.
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On part de ce qui est donné (texte et codages) et de propriétés déjà connues. Ce qu'on constate à l'œil ne peut pas servir : un dessin peut sembler montrer deux droites parallèles sans que l'énoncé l'affirme.
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Les deux entiers sont 24 et 25, leur somme vaut 49. Cet exemple illustre le résultat « la somme de deux entiers consécutifs est impaire » 2, mais il ne le démontre pas : un seul cas ne prouve rien pour tous les entiers.
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Le programme de 5e demande d'utiliser une lettre pour démontrer une propriété générale 2. La lettre désigne un nombre quelconque : le raisonnement vaut donc pour tous. Un exemple chiffré, lui, ne traite qu'un cas. Le gain de brièveté n'est pas la raison, et les nombres ne sont pas interdits : ils servent à tester une idée.
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Les deux entiers sont et ; leur somme est . C'est un nombre impair, puisque est pair et qu'on y ajoute 1. L'erreur oublie que le second entier est , pas .
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. Et : c'est bien un multiple de 3, comme l'annonce le résultat du programme sur trois entiers consécutifs 2. Ce calcul est un test, pas une preuve générale.
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La somme vaut , que l'on factorise en : c'est 3 fois un entier, donc un multiple de 3. vient d'une erreur d'addition, et oublie les termes et .
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C'est vrai. Il faut distinguer les propriétés démontrées de celles qui sont admises 1. Cacher qu'on admet un résultat donnerait l'impression d'une preuve complète alors qu'un maillon repose sur la confiance.
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Un dessin peut être légèrement faux ou trompeur. Pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on cherche dans l'énoncé des informations (côtés, angles) et on appelle une propriété qui conclut. Le programme propose d'ailleurs ce type de question avec ABCD 2. La longueur ou le vocabulaire ne sont pas en cause.
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Un logiciel de géométrie dynamique aide à observer et à formuler une idée, comme tu as appris à le faire depuis le cycle 3 3. Mais déplacer des points ne teste que des cas, avec la précision de l'écran. Pour être sûr, il faut une démonstration. Il ne faut pas non plus conclure que la propriété est fausse : l'observation la soutient.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi ne suffit-il pas de bien dessiner la figure ?
Un dessin, même soigné, est approximatif et ne représente qu'un cas particulier. Il sert à comprendre et à imaginer un résultat. La démonstration, elle, fournit une certitude parce que chaque étape repose sur une donnée ou une propriété.
Comment savoir quelle propriété utiliser dans une démonstration ?
Pars de la conclusion que tu veux obtenir, puis cherche quelle propriété la donne. Vérifie ensuite que tu disposes bien de toutes les données qu'elle demande. S'il en manque une, cherche à la démontrer d'abord à partir de l'énoncé : le raisonnement s'écrit alors en plusieurs étapes.
Sources
Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 (5e) : Espace et géométrie, Raisonnement · education.gouv.fr
- Programme de mathématiques pour le cycle 4 (5e) : Espace et géométrie, Raisonnement, education.gouv.fr. Consulté le 10 novembre 2026.
- 5e Mathématiques : Attendus de fin d'année, eduscol.education.fr. Consulté le 10 novembre 2026.
- MATHÉMATIQUES Espace et géométrie : Informer et accompagner, eduscol.education.fr. Consulté le 10 novembre 2026.
- Intentions majeures : Raisonnement et démonstration, eduscol.education.fr. Consulté le 10 novembre 2026.
- Géométrie non euclidienne, Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.
- Géométrie hyperbolique, Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.
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