Le demi-tour en symétrie centrale : exercices de 5e

Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un demi-tour autour d'un point O, le centre de symétrie, transforme une figure en sa symétrique par rapport à O.⁵
Pour construire l'image d'une figure, on peut la décalquer puis faire tourner le calque.⁴
Le symétrique d'une demi-droite est une demi-droite parallèle à la première.⁵
Le symétrique d'une droite est une droite.¹
Avec un repère, le centre O est le milieu du segment qui joint un point A à son symétrique A' : on peut retrouver les coordonnées de A' en partant de O.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font travailler l'idée centrale du chapitre : faire un demi-tour autour d'un point. Ils vont du plus simple au plus délicat. Prends une feuille, un crayon, une règle et, si tu en as, du papier calque. Cherche d'abord seul(e) ; ouvre l'indice seulement si tu es bloqué(e), puis compare avec la correction.

Les exercices

Exercice 1 Premier demi-tour autour de l'origine

★☆☆Environ 5 min

Dans un repère, le centre de symétrie est l'origine $O(0 ; 0)$ et on place le point $A(2 ; 1)$ . On note $A'$ le symétrique de $A$ par rapport à $O$ . Quelle est l'abscisse de $A'$ ?

Indice 1

O est le milieu du segment [AA'].

Indice 2

Si O est l'origine, l'abscisse de A' est l'opposée de celle de A.

Voir la correction pas à pas

On utilise la formule $x_{A'} = 2a - x_A$ avec $a = 0$ (abscisse du centre).
On remplace : $x_{A'} = 2 \times 0 - 2 = -2$ .
On vérifie : A est à droite de O, A' doit être à gauche de O, et l'abscisse de O (0) est bien le milieu de 2 et −2.

L'abscisse de $A'$ est $-2$ ; on trouve de même $A'(-2 ; -1)$ .

Exercice 2 Un centre qui n'est pas l'origine

★☆☆Environ 6 min

Le centre de symétrie est $O(1 ; 2)$ et le point $A$ a pour coordonnées $(5 ; 3)$ . Calcule l'ordonnée du symétrique $A'$ de $A$ par rapport à $O$ .

Indice 1

Écris la formule pour l'ordonnée : $y_{A'} = 2b - y_A$ .

Indice 2

Ici $b$ est l'ordonnée du centre.

Voir la correction pas à pas

Le centre a pour ordonnée $b = 2$ et A a pour ordonnée $3$ .
On calcule : $y_{A'} = 2 \times 2 - 3 = 1$ .
Contrôle : le milieu de 3 et 1 vaut 2, c'est bien l'ordonnée de O.

L'ordonnée de $A'$ est $1$ . Avec l'abscisse $2 \times 1 - 5 = -3$ , on obtient $A'(-3 ; 1)$ .

Exercice 3 Retrouver le centre

★★☆Environ 8 min

Les points $A(-4 ; 6)$ et $A'(2 ; -2)$ sont symétriques par rapport à un point $O$ . Quelle est l'abscisse de $O$ ?

Indice 1

Le centre est au milieu de [AA'].

Indice 2

L'abscisse du milieu est la moyenne des deux abscisses.

Voir la correction pas à pas

Le centre d'un demi-tour qui envoie A sur A' est le milieu de [AA'].
On calcule la moyenne des abscisses : $\dfrac{-4 + 2}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$ .
Contrôle : $2 \times (-1) - (-4) = 2$ , on retrouve bien l'abscisse de A'.

L'abscisse de $O$ est $-1$ . Avec les ordonnées, $\dfrac{6 + (-2)}{2} = 2$ , donc $O(-1 ; 2)$ .

Exercice 4 Distance entre un point et son symétrique

★★☆Environ 10 min

Le centre est $O(4 ; 5)$ et le point $A$ est en $(1 ; 5)$ , l'unité du repère étant le centimètre. Le symétrique de $A$ par rapport à $O$ est $A'$ . Calcule la longueur $AA'$ en cm.

Indice 1

Calcule d'abord les coordonnées de A'.

Indice 2

Comme O est le milieu de [AA'], la longueur AA' vaut deux fois OA.

Indice 3

A et O ont la même ordonnée : pour OA, compte les graduations qui séparent leurs abscisses.

Voir la correction pas à pas

Coordonnées de A' : $x = 2 \times 4 - 1 = 7$ et $y = 2 \times 5 - 5 = 5$ , donc $A'(7 ; 5)$ .
Longueur OA : A et O sont sur la même ligne horizontale, on passe de $x = 1$ à $x = 4$ , donc $OA = 4 - 1 = 3$ cm.
O est le milieu de [AA'] donc $AA' = 2 \times OA = 2 \times 3 = 6$ cm.
Contrôle direct : A et A' sont sur la même ligne horizontale, donc $AA' = 7 - 1 = 6$ cm.

Le segment $[AA']$ mesure $6$ cm.

Exercice 5 Demi-droites symétriques

★★★Environ 12 min

Trace deux demi-droites parallèles $[Ox)$ et $[O'x')$ de sens opposés, avec $O$ et $O'$ distincts. Où faut-il placer le point $I$ pour que ces deux demi-droites soient symétriques par rapport à $I$ ? Y a-t-il plusieurs possibilités ?

Indice 1

Le symétrique d'une demi-droite est une demi-droite parallèle.

Indice 2

L'origine de la première doit être envoyée sur l'origine de la seconde.

Voir la correction pas à pas

Une demi-droite et sa symétrique par rapport à un point sont parallèles.⁵ Ici c'est bien le cas, mais il faut aussi que l'origine O soit envoyée sur O'.
Si le demi-tour envoie O sur O', alors I est le milieu de [OO'].
On place donc I au milieu de [OO'] : mesure OO', divise par deux, reporte.
Vérifie avec le calque : après un demi-tour autour de I, [Ox) se superpose à [O'x'). Il n'y a qu'un seul milieu pour [OO'], donc une seule position possible pour I.

Le point $I$ est le milieu de $[OO']$ ; il n'y a qu'une seule possibilité.

Exercice 6 Image d'un triangle au calque

★★★Environ 15 min

Sur ton cahier, trace un triangle $ABC$ et un point $O$ extérieur au triangle. Construis le symétrique $A'B'C'$ du triangle par rapport à $O$ à l'aide du calque, puis contrôle ton résultat avec la règle : $O$ doit être aligné avec chaque point et son image.

Indice 1

Décalque le triangle et le point O avant de faire pivoter le calque.

Indice 2

Pour contrôler, trace la droite (AO) : A' doit être dessus, de l'autre côté de O.

Voir la correction pas à pas

Décalque le triangle ABC, ses sommets nommés, et le point O.
Pique la pointe du crayon en O et fais pivoter le calque d'un demi-tour.⁴
Marque à travers le calque la position de chaque sommet : ce sont A', B' et C'. Nomme-les en respectant l'ordre des lettres.
Contrôle : trace la droite (AO) et vérifie que A' est dessus, de l'autre côté de O. Fais de même avec B et C.
Observe que la droite (BC) a pour image une droite (B'C').¹ Les côtés (BC) et (B'C') sont parallèles.

Le triangle $A'B'C'$ a la même forme et les mêmes dimensions que $ABC$ : il a simplement tourné d'un demi-tour autour de $O$ , sans être retourné, et l'ordre de lecture des sommets est conservé. Chaque point, son image et le centre sont alignés, et $O$ est le milieu de chaque segment qui joint un point à son image.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si deux points sont symétriques par rapport à un centre ?

Place le centre $O$ au milieu du segment qui les joint : si $O$ est le milieu de $[AA']$ , alors $A$ et $A'$ sont symétriques par rapport à $O$ . Avec un calque, le test est simple : un demi-tour autour de $O$ doit envoyer $A$ exactement sur $A'$ .⁴

Quelle différence entre faire un demi-tour et faire une symétrie par rapport à une droite ?

Dans le demi-tour, on tourne la figure autour d'un point : la droite et la gauche sont inversées, le haut et le bas aussi, mais la figure n'est pas retournée.⁵ Dans une symétrie par rapport à une droite, on la « retourne » comme dans un miroir. Les deux transformations sont différentes : ne mélange pas leurs constructions.

Sources

Programme visé : Mathématiques - Cycle 4 (5e) - Symétrie centrale · Éduscol, ministère de l'Éducation nationale

Mathématiques - Cycle 4 (5e) - Symétrie centrale, Éduscol, ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 10 novembre 2026.
Symétrie centrale - Ressource pédagogique Éduscol, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
Programme de géométrie Cycle 4 - Symétrie centrale, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
Symétrie centrale - Cours et construction du demi-tour, Sésamath (ressources libres). Consulté le 10 novembre 2026.
Définition et propriétés de la symétrie centrale, Sésamath (ressources libres). Consulté le 10 novembre 2026.
Demi-tour, Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.

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Comment utiliser ces exercices

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Exercice 1 Premier demi-tour autour de l'origine

Exercice 2 Un centre qui n'est pas l'origine

Exercice 3 Retrouver le centre

Exercice 4 Distance entre un point et son symétrique

Exercice 5 Demi-droites symétriques

Exercice 6 Image d'un triangle au calque

Les questions qu'on se pose

Sources

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