La médiatrice : exercices corrigés de 6e

Le point $M$ est le milieu de $[AB]$, donc $AM = MB$.

Les deux morceaux mis bout à bout donnent $AB = 8$ cm.

Chaque morceau mesure donc $8 \div 2 = 4$ cm.

On conclut : $AM = 4$ cm.

La longueur du segment est $10 - 2 = 8$ cm.

La moitié de cette longueur est $8 \div 2 = 4$ cm.

Le milieu est à $4$ cm de $A$, donc à la graduation $2 + 4 = 6$ cm.

Vérification : $M$ est aussi à $10 - 6 = 4$ cm de $B$. Les deux distances sont égales.

Le point $P$ appartient à la médiatrice de $[EF]$.

Un point de la médiatrice est à égale distance des extrémités du segment.³

Donc $PF = PE$.

On conclut : $PF = 5{,}3$ cm.

Le point $C$ est sur la médiatrice de $[AB]$, donc il est à égale distance de $A$ et de $B$.³

On en déduit $CB = CA = 6$ cm.

Le périmètre est $AB + BC + CA$.

Calcul : $7 + 6 + 6 = 19$ cm.

Trace $[AB]$ de $6$ cm avec la règle graduée.

Mesure la moitié : $6 \div 2 = 3$ cm. Marque le milieu $M$ à $3$ cm de $A$.⁵

Place un côté de l'angle droit de l'équerre sur le segment, le sommet de l'angle droit en $M$.

Trace le long de l'autre côté : tu obtiens la perpendiculaire à $[AB]$ passant par $M$.⁵

Prolonge la droite des deux côtés, car une médiatrice est une droite et non un segment.

Contrôle : la droite coupe $[AB]$ en $M$ avec un angle droit, ce qui correspond à la définition.²

Écarte le compas de plus de $3$ cm, par exemple $4$ cm. Si l'écartement était plus petit, les arcs ne se couperaient pas.

Pointe en $A$ et trace un arc de cercle au-dessus et au-dessous du segment.

Garde le même écartement, pointe en $B$ et trace deux arcs qui coupent les premiers en $P$ et $Q$.

Avec la règle, trace la droite $(PQ)$.

Justification : $PA = PB$ et $QA = QB$, car ce sont des rayons du même écartement. Les points $P$ et $Q$ sont donc à égale distance de $A$ et de $B$.

La médiatrice étant l'ensemble des points équidistants des extrémités,⁵ les points $P$ et $Q$ lui appartiennent et la droite $(PQ)$ est la médiatrice.

Supposons que $O$ soit sur la médiatrice de $[AB]$.

Alors $O$ serait à égale distance de $A$ et de $B$.³

On aurait donc $OA = OB$.

Or $OA = 4$ cm et $OB = 4{,}5$ cm, deux longueurs différentes.

Notre supposition est fausse : $O$ n'est pas sur la médiatrice de $[AB]$.

$D$ est sur la médiatrice de $[AB]$, donc $DA = DB$.³

On écrit l'égalité : $2x + 1 = 11$.

On retire $1$ de chaque côté : $2x = 10$.

On divise par $2$ : $x = 5$.

Vérification : $DA = 2 \times 5 + 1 = 11$ cm, ce qui est bien égal à $DB$.

La médiatrice de $[AB]$ est un axe de symétrie de ce segment.²

Ses extrémités s'échangent : le symétrique de $A$ par rapport à $d$ est $B$.

Un point situé sur l'axe de symétrie est son propre symétrique.²

Le symétrique de $C$ est donc $C$ lui-même.

Cohérence : comme la symétrie conserve les longueurs, $CA = CB$, ce qui redonne la propriété d'équidistance.