Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction linéaire s'écrit f(x)=ax : c'est la proportionnalité mise en formule. Une fonction affine s'écrit f(x)=ax+b.
L'image de x se calcule en remplaçant x ; l'antécédent d'un nombre y se trouve en résolvant l'équation f(x)=y.
Pour une fonction linéaire, une seule image suffit : a=xf(x). Pour une fonction affine, il faut deux images.
Avec deux images : a=x2−x1f(x2)−f(x1), puis on trouve b en remplaçant dans ax+b.
La représentation graphique est une droite ; elle passe par l'origine si la fonction est linéaire.
Pour comparer deux tarifs, on écrit une fonction par tarif et on résout l'équation qui les égalise.
Pourquoi ces fonctions ? Du tarif à la formule
Au marché, tu achètes des pommes à 2,50 € le kilo. Pour 2 kg tu paies 5 €, pour 4 kg tu paies 10 €. Si tu doubles la quantité, le prix double aussi : c'est une situation de proportionnalité. En CAP, tu vas apprendre à résumer une telle situation par une formule, qui donne le résultat pour n'importe quelle quantité. Cette formule s'appelle une fonction.
La fonction linéaire vient d'ailleurs conclure le travail commencé sur la proportionnalité : elle met en formules les situations proportionnelles vues auparavant 3. La fonction affine, elle, ajoute une somme fixe : un abonnement, un forfait de départ, un prix de prise en charge. Les situations d'abonnements conduisent justement à l'étude de ces deux familles de fonctions 3.
Ce cours suppose que tu sais déjà :
calculer avec une expression littérale, c'est-à-dire remplacer une lettre par un nombre ;
résoudre une équation du premier degré, comme 3x+4=19 ;
ce qu'est une fonction : un procédé qui, à un nombre, associe un autre nombre.
La résolution d'équations du premier degré et l'étude des fonctions linéaires et affines vont d'ailleurs de pair dans le programme de CAP 2.
Le vocabulaire : fonction, image, antécédent
La fonction linéaire : la proportionnalité en formule
Pourquoi parle-t-on de proportionnalité ? Parce que les images sont proportionnelles aux nombres de départ. Si f(x)=3x, alors f(1)=3, f(2)=6, f(10)=30. Quand x double, l'image double. Quand x est multiplié par 5, l'image est multipliée par 5. Le coefficient a joue le rôle de coefficient de proportionnalité : c'est le nombre par lequel on multiplie pour passer de la première ligne à la seconde dans un tableau de proportionnalité.
x
1
2
5
10
f(x)=3x
3
6
15
30
La fonction affine : on ajoute une valeur de départ
Calculer une image, trouver un antécédent
Déterminer une fonction affine à partir de deux images
Une fonction affine possède deux nombres inconnus, a et b. Une seule image ne suffit donc pas : il en faut deux. Déterminer une fonction affine à partir de deux images est un exercice classique 5.
Démonstration · Pourquoi cette formule
On a y1=ax1+b et y2=ax2+b. En soustrayant la première égalité à la seconde, le terme b disparaît : y2−y1=ax2−ax1=a(x2−x1). Comme x2−x1=0, on divise les deux membres par x2−x1 et on obtient la formule.
Calculer aa = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Calculer bRemplacer x et y dans ax + b
Écrire f(x)f(x) = ax + b avec les deux valeurs
ContrôlerRecalculer l'autre image donnée
Déterminer une fonction affine avec deux images · La méthode en quatre étapes
La représentation graphique : une droite
Représentation graphique de f(x) = 2x + 1 · Droite de la fonction affine f(x) = 2x + 1
Le coefficient a indique de combien monte (ou descend) la droite quand on avance de 1 vers la droite. Pour f(x)=2x+1, on monte de 2 chaque fois que x augmente de 1. Si a>0, la droite monte de la gauche vers la droite. Si a<0, elle descend. Si a=0, la fonction est constante : f(x)=b et la droite est horizontale.
Sur un graphique, on peut aussi lire une image ou un antécédent.
Comparer deux tarifs et résoudre un problème
Les fonctions affines servent surtout à comparer des offres. Déterminer le tarif le plus avantageux est un exercice habituel de ce chapitre 4. La méthode est toujours la même : une fonction par offre, puis une équation.
Sur un graphique, ce résultat se lit simplement : les deux droites se croisent au point d'abscisse 9. Avant ce point, la droite de A est en dessous de celle de B (donc moins chère) ; après, c'est l'inverse.
Les erreurs à éviter et la méthode de contrôle
Exercices corrigés
Exercice 1 Un abonnement à la salle de sport
★☆☆Environ 8 min
Une salle de sport propose un abonnement : 12 € de frais d'inscription, puis 3 € par séance. On note f(x) le coût total en euros pour x séances.
Écris l'expression de f(x).
Calcule le coût pour 7 séances.
Cette situation est-elle une situation de proportionnalité ? Justifie.
Indice 1
Repère le prix fixe (qui ne dépend pas du nombre de séances) et le prix par séance.
Indice 2
Pour tester la proportionnalité, calcule f(0).
Voir la correction pas à pas
Le prix par séance est 3 € et les frais fixes sont 12 €, donc f(x)=3x+12. C'est une fonction affine avec a=3 et b=12.
On remplace x par 7 : f(7)=3×7+12=21+12=33.
Le coût de 7 séances est de 33 €.
Pour la proportionnalité, on calcule f(0)=3×0+12=12 €. Avec 0 séance on paie déjà 12 € : ce n'est pas une situation de proportionnalité, la fonction n'est pas linéaire.
Le coût de 7 séances est de 33 €. La fonction f(x)=3x+12 est affine et non linéaire, car f(0)=0.
Exercice 2 Déterminer une fonction affine puis calculer une image
★★☆Environ 12 min
Une fonction affine f vérifie f(1)=5 et f(4)=11.
Calcule le coefficient a.
Calcule le terme constant b et écris l'expression de f(x).
Vérifie ton résultat avec l'image de 4.
Calcule l'image de 10 par f.
Indice 1
Utilise la formule a=x2−x1y2−y1 en gardant le même ordre en haut et en bas.
Indice 2
Une fois a connu, remplace x et f(x) par les valeurs d'une des deux images dans ax+b.
Voir la correction pas à pas
Coefficient : a=4−111−5=36=2.
Terme constant : f(1)=2×1+b=5, donc b=5−2=3. On obtient f(x)=2x+3.
Vérification : f(4)=2×4+3=8+3=11. Le résultat est cohérent avec l'énoncé.
Image de 10 : f(10)=2×10+3=20+3=23.
La fonction est f(x)=2x+3 et l'image de 10 est 23.
Exercice 3 Comparer deux formules de location de vélos
★★★Environ 15 min
Un loueur propose deux formules, pour une durée de x heures :
formule A : 4 € par heure ;
formule B : 18 € de forfait, plus 2 € par heure.
Écris les fonctions A(x) et B(x). Laquelle est linéaire ?
Pour combien d'heures les deux formules coûtent-elles le même prix ?
Quelle formule choisir pour 5 heures ? pour 12 heures ?
Indice 1
Pour l'égalité, résous l'équation A(x)=B(x).
Indice 2
Après avoir trouvé la valeur d'égalité, calcule les deux prix pour 5 et pour 12 heures.
Voir la correction pas à pas
A(x)=4x est linéaire (pas de terme constant). B(x)=2x+18 est affine et non linéaire.
On résout 4x=2x+18 : on retranche 2x aux deux membres, 2x=18, puis on divise par 2 : x=9.
À 9 heures, A(9)=36 € et B(9)=2×9+18=36 € : les deux formules coûtent pareil.
Pour 5 heures : A(5)=20 € et B(5)=28 €, donc la formule A est moins chère.
Pour 12 heures : A(12)=48 € et B(12)=42 €, donc la formule B est moins chère.
Les deux formules coûtent le même prix pour 9 heures. La formule A est préférable en dessous de 9 heures, la formule B au-delà.
Quiz
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On remplace x par 4 : 5×4−2=20−2=18. La réponse 22 vient d'un signe mal lu (+2 au lieu de −2). La réponse 10 correspond à 5×(4−2), une erreur de priorité : la multiplication se fait avant la soustraction.
On résout 2x+5=11 : 2x=6, donc x=3. La réponse 27 est l'image de 11 (2×11+5), pas son antécédent. La réponse 10,5 vient du calcul 211+5 : on a divisé avant de retrancher, puis ajouté 5 au lieu de le retrancher.
Si b=0, alors f(x)=ax, qui est la forme d'une fonction linéaire. La confusion fréquente est de croire qu'une fonction linéaire est une fonction « sans x » ou qu'une fonction affine ne peut pas être linéaire : toute fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine.
Le coefficient est a=43, donc k(x)=43x et k(12)=43×12=9. On peut aussi remarquer que 12 est le triple de 4 : l'image est le triple de 3, soit 9. Le piège est d'ajouter 8 à 3, ce qui revient à oublier la proportionnalité.
Dans 4x+1, il y a un terme constant 1 : l'image de 0 vaut 1 et non 0, donc la fonction est affine mais pas linéaire. 2x est bien linéaire, car c'est 0,5x. −3x aussi : un coefficient négatif ne change pas la forme.
Comme f(0)=0 pour une fonction linéaire, le point (0;0) est sur la droite. Une droite qui ne passe pas par l'origine correspond à une fonction affine avec b=0. La courbe en U n'est pas une droite : elle correspond à une autre famille de fonctions. La droite horizontale correspond au seul cas a=0.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ?
La fonction linéaire s'écrit f(x)=ax : elle traduit la proportionnalité et sa droite passe par l'origine. La fonction affine s'écrit f(x)=ax+b : elle ajoute un terme constant b, comme un abonnement ou un forfait. Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine, celui où b=0.
Comment savoir s'il faut calculer une image ou un antécédent ?
Regarde ce que l'énoncé donne. Si on te donne la valeur de départ x (nombre d'heures, de kilos) et qu'on demande le résultat, c'est une image : tu calcules. Si on te donne le résultat (un prix, une somme) et qu'on demande la valeur de départ, c'est un antécédent : tu résous une équation.
Pourquoi faut-il deux images pour déterminer une fonction affine ?
Parce qu'elle contient deux nombres inconnus, a et b. Chaque image donne une équation, et il faut deux équations pour trouver deux inconnues. Avec une fonction linéaire, il n'y a qu'un nombre inconnu, a : une seule image suffit.
Comment vérifier rapidement mon résultat à un exercice de détermination ?
Remplace x par chacune des valeurs données dans l'expression trouvée : tu dois retomber exactement sur les images de l'énoncé. Si une seule des deux ne correspond pas, reprends le calcul de a (souvent un ordre inversé en haut et en bas de la fraction) puis celui de b.
Que faire quand le coefficient est négatif ?
Rien de spécial dans la méthode : la formule du coefficient et le calcul de b restent identiques. Il faut seulement mettre des parenthèses pour les calculs avec des nombres négatifs, comme −2×(−3). Un coefficient négatif signifie que la fonction diminue : la droite descend quand on va vers la droite.