La notion de fonction : cours de CAP

Dans la vie de tous les jours comme en atelier, une quantité dépend souvent d'une autre. Le prix d'une course en taxi dépend du nombre de kilomètres. Le salaire d'un mois dépend du nombre d'heures travaillées. La quantité de peinture nécessaire dépend de la surface à couvrir. À chaque fois, tu as un nombre de départ, une règle de calcul, puis un résultat.

Les mathématiciens ont donné un nom à cette idée : la fonction. Ce chapitre te donne le vocabulaire et les réflexes pour la manipuler sans te perdre : calculer un résultat, retrouver le nombre de départ, lire un tableau ou une courbe.

Tu as déjà tout ce qu'il faut. Savoir calculer avec une expression littérale (remplacer une lettre par un nombre) et résoudre une équation du premier degré suffit pour avancer ici.

Imagine une machine. Tu y fais entrer un nombre, elle applique toujours la même règle, et un nombre ressort. Si tu fais entrer deux fois le même nombre, la machine donne deux fois le même résultat. Une machine qui répondrait 5 une fois et 8 une autre fois pour la même entrée ne représenterait pas une fonction.⁶

Pour donner un nom à la machine, on utilise une lettre : souvent $f$, puis $g$ ou $h$ s'il y en a plusieurs. Le nombre de départ se note en général $x$. On l'appelle la variable, car il peut prendre plusieurs valeurs.

Dans l'enseignement scolaire, le mot « fonction » désigne des fonctions dont la variable et le résultat sont des nombres réels. Parmi les fonctions que tu rencontreras figurent les fonctions affines.⁶ Le mot est plus large chez les mathématiciens, mais ce niveau-là ne te concerne pas.

La notation $f(x)$ est pratique mais elle surprend au début. Les parenthèses ne signifient pas une multiplication. $f(3)$ ne veut pas dire « $f$ fois 3 » : cela veut dire « le résultat que donne la machine $f$ quand on y entre 3 ».

On définit souvent une fonction par une phrase de ce type : « $f$ est la fonction qui à $x$ associe $3x-4$ ». On peut l'écrire plus court : $f(x)=3x-4$, ou encore $x\mapsto 3x-4$.

Pour chercher une image, tu pars de $x$ et tu calcules. Pour chercher un antécédent, tu pars du résultat et tu remontes. Concrètement, cela revient à résoudre une équation du premier degré, ce que tu sais déjà faire.

Une même fonction peut se montrer sous trois visages. Savoir passer de l'un à l'autre est une compétence très utile à l'examen comme dans le métier.

Chaque colonne du tableau donne un point de la courbe. La colonne $x=2$, $f(x)=5$ donne le point de coordonnées $(2\,;\,5)$ : on lit d'abord l'abscisse (axe horizontal), puis l'ordonnée (axe vertical).

Que tu prépares un CAP de cuisine, de coiffure, de maçonnerie ou de vente, tu rencontres des fonctions sans toujours les nommer. Voici comment les repérer : cherche une quantité qui dépend d'une autre, avec une règle de calcul qui ne change pas.