Fractions et nombres décimaux : cours de CAP

Sur un chantier, en cuisine, en coiffure ou en mécanique, tu croises tout le temps des nombres qui ne sont pas entiers : une planche de 2,4 m, un mélange aux trois quarts d'un bidon, une remise d'un cinquième sur une facture. Pour les manipuler sans te tromper, tu dois savoir lire une fraction, lire un nombre décimal, et passer de l'un à l'autre.

Le programme de CAP place ces compétences dans les automatismes : exprimer un nombre en écriture décimale ou fractionnaire, comparer des fractions simples ou des décimaux, calculer avec des fractions et des décimaux.¹² Les évaluations de début de première année testent justement ces réflexes, par exemple la comparaison de nombres décimaux et le passage de l'écriture décimale à une écriture fractionnaire.²

Dans ce cours, tu vas avancer pas à pas : d'abord ce que veut dire une fraction, ensuite ce qu'est un nombre décimal, puis comment passer de l'un à l'autre, comment comparer, et enfin comment calculer. Tu dois déjà savoir effectuer un calcul en respectant les priorités opératoires ; c'est tout ce qu'il faut.

Les nombres décimaux ont une longue histoire. Leur usage s'est répandu entre le Xe siècle dans le monde arabe et le XVIe siècle en Europe, et Simon Stevin publie son ouvrage La Disme en 1585 pour convaincre de leur efficacité.⁴ Retiens surtout une idée : on a inventé cette écriture parce qu'elle rend les calculs plus simples.

Une fraction décrit d'abord un partage. Tu prends un objet entier (une pizza, une plaque de plâtre, un litre de peinture). Tu le coupes en parts toutes égales : le dénominateur te dit combien de parts tu as faites. Le numérateur te dit combien de ces parts tu gardes.⁵

Exemple : $\dfrac{3}{8}$ signifie que l'objet est coupé en 8 parts égales et que tu en prends 3. On dit « trois huitièmes ».

Un nombre décimal comporte deux parties séparées par la virgule : la partie entière à gauche et la partie décimale à droite. Dans $12{,}345$, la partie entière est 12 et la partie décimale est $0{,}345$ (les chiffres 3, 4 et 5 après la virgule).

Chaque chiffre a une valeur selon sa place. À droite de la virgule, on trouve dans l'ordre les dixièmes, les centièmes, les millièmes.

Ainsi $12{,}345 = 12 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{100} + \dfrac{5}{1000}$.

Comparer deux décimaux paraît facile, mais c'est un piège classique. Les évaluations nationales proposent des choix de réponses où tous les nombres ont le même nombre de chiffres après la virgule, pour vérifier que tu compares bien les nombres et pas leurs longueurs.²

Comparer $4{,}5$ et $4{,}09$ : $4{,}09$ a plus de chiffres, mais il n'est pas plus grand. Pour t'en assurer, ramène les deux nombres à la même forme.

Les opérations sur les décimaux se font comme sur les entiers, à condition de bien placer la virgule. Pour une addition ou une soustraction, on complète au besoin avec des zéros pour que les deux nombres aient autant de chiffres après la virgule, puis on aligne les virgules l'une sous l'autre.⁴

Le programme demande de résoudre des problèmes avec des entiers, des fractions simples et des décimaux, notamment pour des grandeurs comme la longueur, l'aire ou le volume.³ Tu choisis l'écriture selon la situation.