Fluctuation d'une fréquence : cours de CAP

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une fréquence est l'effectif d'un événement divisé par l'effectif total ; elle va de 0 à 1, ou de 0 % à 100 %.
D'un échantillon à l'autre, la fréquence observée change : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Le hasard suffit à l'expliquer.
Quand le nombre $n$ d'observations augmente, la fréquence observée se stabilise et se rapproche de la probabilité de l'événement.¹
Sur un grand échantillon, la fréquence donne une estimation de la probabilité : on la lit, on la compare, on l'arrondit sans la présenter comme exacte.

Pourquoi une fréquence ne reste pas la même

Tu lances une pièce 10 fois et tu obtiens 7 « face ». Tu recommences 10 lancers : cette fois, 4 « face ». Ta pièce n'a pas changé. Ce qui change, c'est le hasard de ce que tu observes à chaque série.

Dans ce cours, tu apprends à répondre à trois questions très concrètes :

comment calculer une fréquence, et comment la lire en pourcentage ;
pourquoi deux séries d'observations donnent des fréquences différentes ;
que devient la fréquence quand on observe de plus en plus de cas, et comment s'en servir pour estimer une probabilité.

Tu t'appuies sur ce que tu connais déjà : les séries statistiques et leurs effectifs, les fréquences et leurs diagrammes, la moyenne, la médiane et l'étendue, et les probabilités d'une expérience aléatoire.

Rappel : calculer une fréquence

La fluctuation d'échantillonnage

Le hasard n'est pas une anomalie : deux séries de lancers donnent normalement des fréquences différentes. Un exemple de la vie courante le montre : les lettres d'un texte.

En français, la lettre E est la plus fréquente : sur 100 lettres, elle revient à peu près 12 fois. Les lettres A, I et S arrivent loin derrière, avec environ 7 apparitions chacune.⁴ Ce sont des ordres de grandeur. Si tu comptes sur une page précise, tu ne trouveras pas exactement ces nombres.

Après le E, les lettres les plus fréquentes sont A, S, I, T et N, et leur ordre change d'un texte à l'autre.⁴ La fréquence d'une lettre dépend donc de l'échantillon choisi : elle fluctue.

ExempleTrois séries de 20 lancers

On fait trois séries de 20 lancers d'une pièce équilibrée et on note le nombre de « face » : 12, 8 puis 10.

Série	Nombre de « face »	Fréquence
1	12	$\dfrac{12}{20}=0{,}6$
2	8	$\dfrac{8}{20}=0{,}4$
3	10	$\dfrac{10}{20}=0{,}5$

Les trois fréquences sont différentes, et pourtant la pièce est la même. Aucune série n'est « fausse » : ce sont trois échantillons possibles.

Stabilisation quand l'échantillon grandit

Cette propriété explique pourquoi les petits échantillons sont peu fiables et pourquoi les gros sont plus parlants. Avec 10 lancers, on peut très bien voir 7 « face », soit une fréquence de 0,7. Avec 1 000 lancers, une fréquence de 0,7 serait vraiment surprenante pour une pièce équilibrée.

Sur un graphique qui représente la fréquence en fonction du nombre de lancers, la courbe s'agite beaucoup au début, puis se resserre de plus en plus autour d'une valeur : la probabilité.

ExempleEffet de la taille

On cherche la fréquence de « pile » avec une pièce équilibrée, dont la probabilité de « pile » vaut $0{,}5$ .

Nombre de lancers	Nombre de « pile »	Fréquence
10	7	$0{,}7$
100	56	$0{,}56$
1 000	508	$0{,}508$

L'écart avec 0,5 est de 0,2 pour 10 lancers, de 0,06 pour 100 lancers et de 0,008 pour 1 000 lancers. Il rétrécit quand $n$ augmente.

Lire un tableau ou un graphique de fréquences

En pratique, on observe souvent une expérience qui se poursuit : on note le résultat après 10 lancers, puis après 50, puis après 100, etc. À chaque étape, on calcule la fréquence en comptant tous les lancers déjà faits depuis le début. On parle de fréquences cumulées.

Voici un exemple : on lance un dé équilibré et on s'intéresse à l'événement « obtenir un nombre pair », dont la probabilité vaut $0{,}5$ .

Fréquences cumulées de l'événement « nombre pair »
Lancers	Nombre de pairs	Fréquence	Écart avec 0,5
20	14	0,7	0,2
100	58	0,58	0,08
400	208	0,52	0,02
1 000	503	0,503	0,003

Fréquences cumulées de l'événement « nombre pair » · Plus le nombre de lancers augmente, plus l'écart avec la probabilité 0,5 diminue.

Sur un graphique, c'est la même histoire. Le nombre de lancers est placé en abscisse et la fréquence en ordonnée. Au début, les points sont dispersés, parfois très loin de la probabilité. Puis ils se rapprochent d'une droite horizontale imaginaire, située à la hauteur de la probabilité. Cette droite est ce que la courbe « vise ».

Estimer une probabilité avec une fréquence

Pour un dé ou une pièce équilibrés, tu connais la probabilité par avance. Mais pour beaucoup d'objets, personne ne la connaît : une punaise qui retombe sur la pointe ou sur le côté, un bouchon qui tombe d'un côté ou de l'autre, un type de pièce défectueuse sur une chaîne de fabrication. La probabilité ne se calcule pas, elle s'estime par l'expérience.

Méthode complète et pièges

CalculerEffectif de l'événement ÷ taille de l'échantillon.
ComparerÉcart avec la probabilité ou entre échantillons.
TailleLe plus grand échantillon est le plus fiable.
ConclurePhrase prudente : environ, estimation.

Raisonner sur une fréquence en quatre temps · La démarche à appliquer à chaque énoncé sur les fréquences.

Exercices corrigés

Exercice 1 Trois groupes lancent une pièce

★☆☆Environ 8 min

Trois groupes lancent la même pièce équilibrée, dont la probabilité de « pile » est $0{,}5$ .

Groupe	Nombre de lancers	Nombre de « pile »
A	20	13
B	50	27
C	200	98

Calcule la fréquence de « pile » de chaque groupe.
Calcule l'écart entre chaque fréquence et $0{,}5$ .
Quel groupe est le plus proche de la probabilité ? Que remarques-tu sur sa taille ?

Donne ensuite, comme réponse numérique, l'écart du groupe A.

Indice 1

La fréquence est le nombre de « pile » divisé par le nombre de lancers.

Indice 2

L'écart est la différence entre la plus grande et la plus petite des deux valeurs.

Voir la correction pas à pas

Groupe A : $\dfrac{13}{20}=0{,}65$ .
Groupe B : $\dfrac{27}{50}=0{,}54$ . Groupe C : $\dfrac{98}{200}=0{,}49$ .
Écarts avec $0{,}5$ : groupe A $0{,}65-0{,}5=0{,}15$ ; groupe B $0{,}54-0{,}5=0{,}04$ ; groupe C $0{,}5-0{,}49=0{,}01$ .
Le plus petit écart est celui du groupe C, qui a aussi le plus grand nombre de lancers.
On retrouve la stabilisation : plus l'échantillon est grand, plus la fréquence se rapproche de la probabilité.

Les fréquences sont $0{,}65$ , $0{,}54$ et $0{,}49$ . L'écart du groupe A vaut $0{,}15$ , le plus grand des trois.

Exercice 2 Lire un tableau de fréquences cumulées

★★☆Environ 10 min

On lance un dé équilibré et on note l'événement « obtenir un nombre pair », de probabilité $0{,}5$ . Voici les résultats cumulés.

Nombre de lancers	Nombre de « pair »
20	14
100	58
400	208
1 000	503

Calcule la fréquence de « pair » pour chaque ligne.
Calcule l'écart avec $0{,}5$ pour chaque ligne.
Que constates-tu quand le nombre de lancers augmente ?

Donne, comme réponse numérique, la fréquence pour 1 000 lancers.

Indice 1

Divise chaque effectif par le nombre de lancers de la même ligne.

Indice 2

Compare les quatre écarts : augmentent-ils ou diminuent-ils ?

Voir la correction pas à pas

Pour 20 lancers : $\dfrac{14}{20}=0{,}7$ .
Pour 100 lancers : $\dfrac{58}{100}=0{,}58$ . Pour 400 lancers : $\dfrac{208}{400}=0{,}52$ .
Pour 1 000 lancers : $\dfrac{503}{1\,000}=0{,}503$ .
Écarts avec $0{,}5$ : $0{,}2$ ; $0{,}08$ ; $0{,}02$ ; $0{,}003$ .
Les écarts diminuent quand le nombre de lancers augmente : la fréquence se stabilise près de $0{,}5$ .

La fréquence pour 1 000 lancers est $0{,}503$ , très proche de la probabilité $0{,}5$ .

Exercice 3 Estimer la probabilité d'une punaise

★★☆Environ 10 min

On lance une punaise 1 000 fois. Elle retombe 412 fois la pointe en l'air.

Calcule la fréquence de « pointe en l'air ».
Quelle estimation de la probabilité de cet événement proposes-tu ?
On lance la punaise 2 000 fois. Combien de fois s'attend-on environ à voir « pointe en l'air » ?
Un élève dit : « Sur 10 lancers, j'ai eu 6 fois pointe en l'air, donc la probabilité est 0,6. » Que lui réponds-tu ?

Donne, comme réponse numérique, le nombre de la question 3.

Indice 1

La fréquence sur un grand échantillon sert d'estimation.

Indice 2

Pour la prévision, multiplie la fréquence par le nombre de lancers.

Indice 3

Pense à la taille des deux échantillons.

Voir la correction pas à pas

Fréquence : $\dfrac{412}{1\,000}=0{,}412$ .
On estime la probabilité à $0{,}41$ environ, car l'échantillon est grand.
Prévision sur 2 000 lancers : $0{,}412\times 2\,000=824$ . On s'attend à environ 824 « pointe en l'air ».
L'élève s'appuie sur seulement 10 lancers : cette fréquence fluctue beaucoup. Son résultat n'est pas une estimation fiable, alors que 1 000 lancers donnent une valeur plus stable.

La probabilité est estimée à $0{,}41$ environ et on prévoit à peu près 824 « pointe en l'air » sur 2 000 lancers.

Exercice 4 Regrouper deux classes

★★★Environ 12 min

Deux classes lancent la même pièce, de probabilité de « face » inconnue.

Classe 1 : 40 lancers, 18 « face ».
Classe 2 : 160 lancers, 86 « face ».

Calcule la fréquence de « face » de chaque classe.
On regroupe les deux classes en un seul échantillon. Combien de lancers et combien de « face » obtient-on ?
Calcule la fréquence de l'échantillon regroupé.
Quelle estimation de la probabilité de « face » proposes-tu ? Pourquoi est-elle plus fiable que celles des classes prises séparément ?

Donne, comme réponse numérique, la fréquence de l'échantillon regroupé.

Indice 1

Les effectifs s'additionnent, les fréquences ne s'additionnent pas.

Indice 2

La fréquence regroupée est le total de « face » divisé par le total de lancers.

Voir la correction pas à pas

Classe 1 : $\dfrac{18}{40}=0{,}45$ . Classe 2 : $\dfrac{86}{160}=0{,}5375$ .
Échantillon regroupé : $40+160=200$ lancers et $18+86=104$ « face ».
Fréquence regroupée : $\dfrac{104}{200}=0{,}52$ .
On ne calcule pas la moyenne des deux fréquences, car les classes n'ont pas le même nombre de lancers.
On estime la probabilité de « face » à $0{,}52$ environ. Cet échantillon contient 200 lancers, plus que chacune des deux classes : sa fréquence est plus stable.

La fréquence regroupée est $0{,}52$ : c'est la meilleure estimation disponible, car elle repose sur 200 lancers.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi ne trouve-t-on jamais exactement la probabilité quand on lance une pièce ?

La fréquence observée dépend de l'échantillon, donc du hasard. Elle s'approche de la probabilité quand le nombre de lancers grandit,¹ mais elle n'a aucune raison de tomber pile dessus à chaque série.

À quoi sert d'observer la fréquence sur un grand échantillon ?

Quand on ne connaît pas la probabilité d'un événement (une punaise, une pièce défectueuse), la fréquence obtenue sur un grand échantillon en donne une estimation fiable.¹ Plus tu observes de cas, plus l'estimation est stable.

Quelle différence entre une fréquence et une probabilité ?

Une fréquence se calcule sur une série d'observations déjà faite : c'est un résultat mesuré. Une probabilité décrit l'expérience elle-même, avant toute série. La fréquence change d'un échantillon à l'autre, la probabilité reste la même.

Si j'ai eu beaucoup de « pile » d'affilée, vais-je avoir plus de « face » ensuite ?

Non. Chaque lancer est indépendant des précédents. La fréquence se rapproche de la probabilité parce que les nouveaux lancers, de plus en plus nombreux, finissent par peser davantage que les premiers, pas parce que la pièce corrige ses résultats.

Dois-je utiliser des pourcentages ou des décimaux dans les calculs ?

Choisis une écriture et garde-la partout. Le décimal est le plus sûr pour calculer : $0{,}25$ plutôt que 25 %. Tu peux convertir en pourcentage à la fin en multipliant par 100.

Sources

Fluctuations d'une fréquence selon les échantillons, probabilités - Document pédagogique, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Ressources académiques CAP - Mathématiques (Académie de la Réunion), Académie de la Réunion. Consulté le 9 novembre 2026.
Intervalles de fluctuation et probabilités, IREM (Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques). Consulté le 9 novembre 2026.
Fréquence d'apparition des lettres, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
Variabilité de la fréquence cardiaque, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

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Lire un tableau ou un graphique de fréquences

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