Représentations planes de l'espace : cours de 1re technologique

Une feuille de papier ou un écran est plat : il n'a que deux dimensions. Pourtant, les objets que l'on fabrique, que l'on dessine ou que l'on modélise en technologie en ont trois. Il faut donc des conventions pour passer d'un objet de l'espace à un dessin du plan, et inversement pour lire un dessin et se représenter l'objet.

Le programme de première technologique range cette compétence dans la géométrie : il demande de représenter en perspective ou en vraie grandeur des sections planes, et de construire des sections planes de cubes et de cylindres de révolution.¹ Ce cours te donne les outils pour y arriver : lire des vues, comprendre ce qu'est une section, la construire sur un cube puis sur un cylindre, et trouver ses dimensions réelles.

Les ressources d'accompagnement des enseignants insistent sur le fait que la représentation de l'espace sert à produire et à utiliser des représentations adaptées, comme des plans ou des vues différentes d'un même objet.² Elles évoquent aussi des outils numériques : logiciel de représentation dans l'espace, machine à commande numérique, imprimante 3D.² Autrement dit, ce que tu apprends ici sert directement en dessin technique, en design ou en fabrication.

Un énoncé peut te donner un dessin plat et te demander de passer à l'objet en volume.⁴ Cela suppose de bien te figurer l'espace. Un logiciel de géométrie t'aide, mais quand la figure devient chargée, il ne place pas toujours les pointillés comme il faut.³ À toi de décider ce qui est masqué et ce qui reste visible.

Prends un pavé droit (une boîte de forme rectangulaire) posé sur une table, de longueur 6 cm, de largeur 4 cm et de hauteur 3 cm.

• Vue de dessus : tu vois un rectangle de 6 cm sur 4 cm. Tu perds la hauteur.
• Vue de face : tu vois un rectangle de 6 cm sur 3 cm. Tu perds la largeur.
• Vue de côté : tu vois un rectangle de 4 cm sur 3 cm. Tu perds la longueur.

Aucune vue seule ne suffit pour reconstruire l'objet, mais deux ou trois vues bien choisies donnent les trois dimensions. C'est le principe des plans utilisés en technologie.

Imagine que tu coupes un pain de mie d'un coup de couteau bien droit : la tranche que tu vois sur la face de coupe est une section. Le couteau joue le rôle du plan, le pain celui du solide.

Le programme cible deux solides : le cube et le cylindre de révolution.¹ Ce sont des solides simples, dont on connaît toutes les faces, ce qui permet de raisonner plutôt que de deviner.

Pour construire, on s'appuie sur une idée simple : la section d'un solide dont les faces sont planes est une figure dont chaque côté est situé dans une face. Il faut donc repérer, face par face, où le plan coupe cette face. Si le plan et la face se coupent, ils se coupent le long d'une droite, donc d'un segment à l'intérieur de la face.

Pour parler d'un cube, on nomme ses sommets : ABCD pour la face du bas, EFGH pour celle du haut, de sorte que E soit au-dessus de A, F au-dessus de B, G au-dessus de C et H au-dessus de D. On note $a$ la longueur de l'arête.

Les six faces sont des carrés égaux. Les faces opposées sont parallèles : par exemple la face ABCD (bas) et la face EFGH (haut).

Le cylindre de révolution est le second solide cité par le programme pour les sections planes.¹ Selon la position du plan de coupe, deux cas simples se rencontrent.

Le programme parle de représenter une section en perspective ou en vraie grandeur.¹ Ces deux dessins répondent à deux besoins différents.

• La perspective donne une image de l'objet dans l'espace. Elle aide à voir la position du plan de coupe, mais elle déforme les longueurs et les angles. Une perspective cavalière, par exemple, représente un objet de l'espace en suivant des règles précises ; la figure demande aussi une bonne vision dans l'espace.³
• La vraie grandeur est un dessin de la section seule, à son échelle réelle, comme si tu la regardais bien en face. Les longueurs et les angles y sont ceux de l'objet.

Quelques réflexes qui font gagner des points :

• Écris toujours le nom de la figure obtenue et justifie-le (« ce sont des diagonales de faces, donc elles sont égales »).
• Pour une longueur de diagonale dans un carré de côté $a$, pense à $a\sqrt{2}$.
• N'oublie pas l'unité : cm pour une longueur, cm² pour une aire.
• Quand tu dessines, réserve le trait plein à ce qui est visible et les pointillés à ce qui est caché.