Représentations planes de l'espace : exercices de 1re techno

On identifie la longueur réelle d'une arête : $6$ cm.

La convention réduit chaque fuyante de moitié, donc on multiplie par $\dfrac{1}{2}$.

On calcule $\dfrac{1}{2}\times 6 = 3$ : la fuyante mesure $3$ cm sur le dessin.

On lit la longueur dessinée d'une arête de la face avant : $4{,}5$ cm.

Le dessin est quatre fois plus petit que l'objet, donc on multiplie par $4$.

On calcule $4{,}5\times 4 = 18$ : l'arête réelle mesure $18$ cm.

Le plan est parallèle aux bases : la section est un disque identique à la base.

Son rayon est donc $4$ cm.

On applique $\pi r^2$ : $\pi\times 4^2 = 16\pi$.

On arrondit : $16\pi\approx 50{,}27$ cm$^2$.

Le plan contient l'axe : il coupe chaque base suivant un diamètre, de longueur $2\times 3 = 6$ cm.

Il coupe la surface latérale suivant deux génératrices, de longueur égale à la hauteur : $10$ cm.

Les génératrices sont perpendiculaires aux bases, donc la section est un rectangle de $6$ cm sur $10$ cm.

On calcule l'aire : $6\times 10 = 60$ cm$^2$.

Le plan est parallèle à la face $ABCD$ et passe à mi-hauteur : il coupe les quatre arêtes verticales en leur milieu.

Les côtés de la section sont parallèles aux côtés de $ABCD$ et ont la même longueur, soit $5$ cm. La section est donc un carré de côté $5$ cm.

Pour le tracé, on place les milieux de $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$ et $[DH]$, puis on les relie dans l'ordre, en pointillé pour les côtés cachés.

Le périmètre vaut $4\times 5 = 20$ cm.

Le plan $(ACG)$ contient $A$, $C$, $G$ et aussi $E$ : les arêtes $[AE]$ et $[CG]$ sont toutes deux verticales, donc parallèles et de même longueur.

$[AE]$ est perpendiculaire au plan de la base, donc à $[AC]$ : le quadrilatère $ACGE$ a des côtés opposés parallèles et un angle droit, c'est un rectangle.

$AC$ est la diagonale du carré $ABCD$ : $AC = 8\sqrt{2}$ cm. Et $AE = 8$ cm.

Aire : $8\sqrt{2}\times 8 = 64\sqrt{2}\approx 90{,}51$ cm$^2$.

La section passe par $A$, $C$ et $F$ : ses côtés sont $[AC]$, $[CF]$ et $[FA]$.

$[AC]$ est une diagonale de la face $ABCD$, $[CF]$ une diagonale de la face $BCGF$ et $[FA]$ une diagonale de la face $ABFE$. Chaque face est un carré de côté $6$ cm : les trois côtés mesurent $6\sqrt{2}$ cm.

Le triangle $ACF$ est donc équilatéral, de côté $a = 6\sqrt{2}$ cm. On a $a^2 = 72$.

Aire : $\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 72 = 18\sqrt{3}\approx 31{,}18$ cm$^2$.