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Épreuve anticipée de mathématiques — méthode · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Méthode : exercice sur les fonctions, exercices de 1re

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Un exercice sur les fonctions se traite toujours dans le même ordre : lire la fonction, calculer, dériver, étudier le signe de la dérivée, conclure.
  • Le signe de f′f' donne les variations de ff : positif, ff croît ; négatif, ff décroît.
  • La tangente en aa a pour équation y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a).
  • Un extremum sur un intervalle se cherche parmi les points où f′f' s'annule et aux bornes.
  • Termine chaque exercice par une phrase de conclusion avec l'unité.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font travailler la méthode du chapitre sur les fonctions, du calcul le plus simple jusqu'au problème concret. Ils sont rangés par difficulté croissante. Cherche d'abord seul, avec une feuille de brouillon, puis ouvre les indices un par un, et seulement après la correction.

À l'épreuve anticipée, les automatismes comptent pour 6 points 2. La partie d'exercices est notée sur 14 points et réunit deux ou trois exercices sans lien entre eux 1. Un exercice sur les fonctions peut donc tomber seul ou à côté d'un exercice sur les suites ou les probabilités. Mieux vaut avoir un réflexe de rédaction sûr.

Rédiger une réponse claire

Les exercices

Exercice 1 Calculer une image

★☆☆Environ 4 min

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x2−3x+1f(x)=2x^2-3x+1.

Calcule l'image de 33 par ff.

Indice 1

L'image de 3 est le nombre f(3)f(3) : remplace xx par 3.

Indice 2

Respecte les priorités : la puissance d'abord, puis la multiplication, puis les additions.

Voir la correction pas à pas

  1. On cherche f(3)f(3), donc on remplace xx par 33 dans l'expression de ff.

  2. f(3)=2×32−3×3+1f(3)=2\times 3^2-3\times 3+1.

  3. On calcule le carré : 32=93^2=9, donc 2×9=182\times 9=18.

  4. On calcule ensuite 3×3=93\times 3=9.

  5. f(3)=18−9+1=10f(3)=18-9+1=10.

L'image de 33 par ff est 1010. Pour un calcul d'image, tu n'as jamais besoin de dériver : relis bien la question avant de choisir ton outil.

Exercice 2 Calculer un nombre dérivé

★☆☆Environ 6 min

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3−6x2+5f(x)=x^3-6x^2+5.

  1. Détermine l'expression de f′(x)f'(x).
  2. Calcule le nombre dérivé f′(1)f'(1).
Indice 1

Dérive terme à terme : x3x^3 donne 3x23x^2, x2x^2 donne 2x2x, une constante donne 00.

Indice 2

N'oublie pas le coefficient −6-6 devant x2x^2.

Voir la correction pas à pas

  1. On dérive chaque terme : la dérivée de x3x^3 est 3x23x^2.

  2. La dérivée de −6x2-6x^2 est −6×2x=−12x-6\times 2x=-12x.

  3. La dérivée de la constante 55 est 00.

  4. Donc f′(x)=3x2−12xf'(x)=3x^2-12x.

  5. On remplace xx par 11 : f′(1)=3×12−12×1=3−12=−9f'(1)=3\times 1^2-12\times 1=3-12=-9.

On obtient f′(1)=−9f'(1)=-9. Le coefficient directeur de la tangente en 11 vaut donc −9-9 : il est négatif, donc la courbe descend en ce point.

Exercice 3 Minimum d'une fonction du second degré

★★☆Environ 8 min

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−4x+7f(x)=x^2-4x+7.

  1. Calcule f′(x)f'(x) et étudie son signe.
  2. Dresse le tableau de variations de ff.
  3. Détermine le minimum de ff sur R\mathbb{R}.
Indice 1

f′(x)f'(x) est une expression du premier degré : résous f′(x)=0f'(x)=0.

Indice 2

Le minimum est la valeur de ff à l'endroit où les variations changent de sens.

Voir la correction pas à pas

  1. On dérive : f′(x)=2x−4f'(x)=2x-4.

  2. On résout f′(x)=0f'(x)=0 : 2x−4=02x-4=0 donne x=2x=2.

  3. Le coefficient de xx dans f′(x)f'(x) est positif, donc f′(x)<0f'(x)<0 pour x<2x<2 et f′(x)>0f'(x)>0 pour x>2x>2.

  4. Donc ff est décroissante sur ]−∞ ;2]]-\infty\,;2] et croissante sur [2 ;+∞[[2\,;+\infty[.

  5. Le minimum est atteint en x=2x=2 : f(2)=22−4×2+7=4−8+7=3f(2)=2^2-4\times 2+7=4-8+7=3.

Le minimum de ff sur R\mathbb{R} est 33, atteint pour x=2x=2. Le changement de signe de f′f' du négatif au positif signale un minimum local ; ici, comme c'est le seul changement de signe sur R\mathbb{R}, c'est le minimum de ff.

Exercice 4 Équation d'une tangente

★★☆Environ 8 min

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2+1f(x)=x^2+1 et Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative.

  1. Calcule f(2)f(2) et f′(2)f'(2).
  2. Écris l'équation réduite y=mx+py=mx+p de la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d'abscisse 22.
  3. Donne la valeur de l'ordonnée à l'origine pp.
Indice 1

Utilise la formule y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a) avec a=2a=2.

Indice 2

Développe l'expression pour retrouver la forme mx+pmx+p.

Voir la correction pas à pas

  1. On calcule f(2)=22+1=5f(2)=2^2+1=5.

  2. On dérive : f′(x)=2xf'(x)=2x, donc f′(2)=4f'(2)=4.

  3. La tangente a pour équation y=f′(2)(x−2)+f(2)y=f'(2)(x-2)+f(2), soit y=4(x−2)+5y=4(x-2)+5.

  4. On développe : y=4x−8+5=4x−3y=4x-8+5=4x-3.

  5. L'ordonnée à l'origine est donc p=5−4×2=−3p=5-4\times 2=-3.

La tangente a pour équation y=4x−3y=4x-3 et son ordonnée à l'origine vaut −3-3. Vérifie toujours que le point (2 ;5)(2\,;5) vérifie l'équation trouvée : 4×2−3=54\times 2-3=5.

Exercice 5 Maximum sur un intervalle

★★★Environ 12 min

Soit ff la fonction définie sur l'intervalle [−3 ;3][-3\,;3] par f(x)=x3−12x+5f(x)=x^3-12x+5.

  1. Calcule f′(x)f'(x) et factorise-la.
  2. Étudie le signe de f′(x)f'(x) sur [−3 ;3][-3\,;3] et dresse le tableau de variations de ff.
  3. Détermine le maximum de ff sur [−3 ;3][-3\,;3].
Indice 1

Factorise f′(x)=3x2−12f'(x)=3x^2-12 en mettant 33 en facteur, puis reconnais une différence de deux carrés.

Indice 2

Calcule aussi f(−3)f(-3) et f(3)f(3) pour comparer avec la valeur trouvée à l'intérieur de l'intervalle.

Voir la correction pas à pas

  1. On dérive : f′(x)=3x2−12=3(x2−4)=3(x−2)(x+2)f'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2).

  2. f′f' s'annule en x=−2x=-2 et en x=2x=2, deux valeurs de l'intervalle.

  3. Signe de f′f' : positive sur [−3 ;−2[[-3\,;-2[, négative sur ]−2 ;2[]-2\,;2[, positive sur ]2 ;3]]2\,;3] (trinôme positif à l'extérieur des racines).

  4. Donc ff croît sur [−3 ;−2][-3\,;-2], décroît sur [−2 ;2][-2\,;2], puis croît sur [2 ;3][2\,;3].

  5. On calcule les valeurs utiles : f(−3)=−27+36+5=14f(-3)=-27+36+5=14, f(−2)=−8+24+5=21f(-2)=-8+24+5=21, f(2)=8−24+5=−11f(2)=8-24+5=-11, f(3)=27−36+5=−4f(3)=27-36+5=-4.

  6. La plus grande valeur est 2121, atteinte en x=−2x=-2.

Le maximum de ff sur [−3 ;3][-3\,;3] est 2121, atteint en x=−2x=-2. Comparer avec les valeurs aux bornes évite de croire qu'un extremum local est forcément le plus grand.

Exercice 6 Problème de bénéfice

★★★Environ 14 min

Une petite entreprise fabrique entre 00 et 6060 objets par jour. Le bénéfice quotidien, en euros, pour xx objets vendus est donné par B(x)=−2x2+120x−1000B(x)=-2x^2+120x-1000, avec x∈[0 ;60]x\in[0\,;60].

  1. Calcule B′(x)B'(x) et étudie son signe.
  2. En déduis le nombre d'objets qui rend le bénéfice maximal.
  3. Calcule ce bénéfice maximal, en euros.
Indice 1

Dérive chaque terme : −2x2-2x^2 donne −4x-4x.

Indice 2

Le bénéfice est maximal là où B′B' passe du positif au négatif.

Voir la correction pas à pas

  1. On dérive : B′(x)=−4x+120B'(x)=-4x+120.

  2. On résout B′(x)=0B'(x)=0 : −4x+120=0-4x+120=0 donne x=30x=30.

  3. Le coefficient de xx est négatif : B′(x)>0B'(x)>0 pour x<30x<30 et B′(x)<0B'(x)<0 pour x>30x>30.

  4. Donc BB croît sur [0 ;30][0\,;30] et décroît sur [30 ;60][30\,;60] : le maximum est atteint pour x=30x=30.

  5. On calcule B(30)=−2×302+120×30−1000=−1800+3600−1000=800B(30)=-2\times 30^2+120\times 30-1000=-1800+3600-1000=800.

Le bénéfice est maximal pour 3030 objets fabriqués et vendus par jour, et il vaut alors 800800 euros. Dans un problème concret, la phrase de réponse avec l'unité fait partie de la solution.

Les questions qu'on se pose

Dans quel ordre traiter les questions d'un exercice sur les fonctions ?

Suis l'ordre de l'énoncé : les premières questions préparent les suivantes. En général, on calcule d'abord des images ou la dérivée, on étudie ensuite son signe, puis on en déduit les variations et on répond à la question finale (extremum, tangente, équation). Si une question te bloque, passe à la suivante en utilisant le résultat annoncé : les exercices de la partie à 14 points sont indépendants entre eux 1, mais leurs questions s'enchaînent.

Comment savoir si je dois dériver ?

Dérive dès que l'énoncé parle de variations, de tangente, de nombre dérivé, de maximum ou de minimum. Pour une simple image, un antécédent ou la résolution d'une équation, le calcul direct suffit. Une question sur le signe de f′f' ou sur une pente appelle toujours la dérivée.

Sources

Programme visé : Épreuve anticipée de mathématiques en classe de première · Éduscol - Ministère de l'Éducation Nationale

  1. Épreuve anticipée de mathématiques en classe de première, Éduscol - Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 7 novembre 2026.
  2. Épreuve anticipée de mathématiques en classe de première, Ministry of National Education (education.gouv.fr). Consulté le 7 novembre 2026.
  3. Bulletin officiel spécial n° 4 du 17 septembre 2026 — Épreuve anticipée de mathématiques, Bulletin Officiel — Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 7 novembre 2026.
  4. Bulletin officiel n° 24 du 12 juin 2025 — Épreuve anticipée de mathématiques, Bulletin Officiel — Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 7 novembre 2026.
  5. Documents ressources Éduscol — Mathématiques Première, Éduscol — Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 7 novembre 2026.
  6. Nouvelle épreuve anticipée de mathématiques en classe de 1re pour l'année scolaire 2025-2026, Ministry of National Education (education.gouv.fr). Consulté le 7 novembre 2026.

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