Exercice sur les suites : méthode et exercices corrigés (1re)

On applique la relation : $u_1 = u_0 + 3 = 5 + 3 = 8$.

Puis $u_2 = u_1 + 3 = 8 + 3 = 11$ et $u_3 = u_2 + 3 = 11 + 3 = 14$.

À chaque rang on ajoute 3. Pour aller de $u_0$ à $u_n$, on ajoute $n$ fois 3, donc $u_n = 5 + 3n$.

Contrôle : pour $n = 3$, $5 + 3 \times 3 = 14$, ce qui correspond à $u_3$.

Pour $n = 10$ : $u_{10} = 5 + 3 \times 10 = 35$.

$v_1 = 3 \times v_0 = 3 \times 2 = 6$.

$v_2 = 3 \times 6 = 18$ et $v_3 = 3 \times 18 = 54$.

On multiplie par 3 à chaque rang, donc après $n$ rangs le facteur total est $3^n$ : $v_n = 2 \times 3^n$.

Contrôle : $v_3 = 2 \times 27 = 54$, ce qui correspond.

Pour $n = 5$ : $v_5 = 2 \times 3^5 = 2 \times 243 = 486$.

$u_1 = 2 \times 5 - 3 = 7$, $u_2 = 2 \times 7 - 3 = 11$, $u_3 = 2 \times 11 - 3 = 19$.

On part de $w_{n+1} = u_{n+1} - 3$, puis on remplace : $w_{n+1} = 2u_n - 3 - 3 = 2u_n - 6$.

On factorise : $2u_n - 6 = 2(u_n - 3) = 2 w_n$. Chaque terme de $(w_n)$ est donc le double du précédent.

Le premier terme vaut $w_0 = u_0 - 3 = 2$. On en déduit $w_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$.

Comme $u_n = w_n + 3$, on obtient $u_n = 2^{n+1} + 3$.

Contrôle : pour $n = 3$, $2^4 + 3 = 19$, ce qui correspond à $u_3$.

Pour $n = 6$ : $u_6 = 2^7 + 3 = 128 + 3 = 131$.

$a_0 = 4$, $a_1 = 6$, $a_2 = 8$ : la suite augmente de 2 à chaque rang.

$a_9 = 4 + 2 \times 9 = 22$.

De $a_0$ à $a_9$, il y a 10 termes (rangs 0, 1, …, 9).

On associe les termes : $a_0 + a_9 = 4 + 22 = 26$ et $a_1 + a_8 = 6 + 20 = 26$. Chaque paire donne 26.

Dix termes forment cinq paires, donc $S = 5 \times 26 = 130$.

$c_1 = 1{,}05 \times 800 = 840$ euros et $c_2 = 1{,}05 \times 840 = 882$ euros.

Le coefficient est le même à chaque rang : $c_n = 800 \times 1{,}05^n$.

On cherche $800 \times 1{,}05^n > 1\,000$, soit $1{,}05^n > 1{,}25$.

Comme $1{,}05 > 1$, la suite $(1{,}05^n)$ est croissante : on calcule ses valeurs successives à la calculatrice (tableau de valeurs ou boucle) jusqu'à dépasser 1,25.

On trouve $1{,}05^1 = 1{,}05$, $1{,}05^2 = 1{,}1025$, $1{,}05^3 \approx 1{,}1576$ : ces valeurs restent sous 1,25.

Vérification sur les rangs voisins : $1{,}05^4 \approx 1{,}2155 < 1{,}25$ et $1{,}05^5 \approx 1{,}2763 > 1{,}25$. Le seuil est bien franchi au rang 5.

$F_2 = F_1 + F_0 = 1 + 0 = 1$, puis $F_3 = F_2 + F_1 = 2$, $F_4 = F_3 + F_2 = 3$ et $F_5 = F_4 + F_3 = 5$.

On poursuit : $F_6 = 5 + 3 = 8$, $F_7 = 8 + 5 = 13$, $F_8 = 13 + 8 = 21$, $F_9 = 21 + 13 = 34$.

$F_{10} = 34 + 21 = 55$, $F_{11} = 55 + 34 = 89$, $F_{12} = 89 + 55 = 144$.

Pour la question 3 : $2 \times F_6 = 2 \times 8 = 16$, alors que $F_{12} = 144$.

Comme $144 \neq 16$, l'élève a tort. Le fait de doubler le rang ne double pas la valeur : la suite croît bien plus vite qu'une suite qui augmente d'un pas constant.