Épreuve anticipée de mathématiques — méthode · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Méthode : exercice sur les suites (épreuve anticipée, 1re)

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Repère d'abord comment la suite est donnée : par une formule en $n$ (mode explicite) ou par une relation qui lie $u_{n+1}$ à $u_n$ (mode par récurrence).
Pour la nature d'une suite, calcule $u_{n+1}-u_n$ (arithmétique si c'est une constante) ou $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (géométrique si c'est une constante).
Une suite auxiliaire $v_n$ , donnée par l'énoncé, ramène une récurrence compliquée à une suite géométrique ou arithmétique : on trouve $v_n$ , puis $u_n$ .
Pour le sens de variation, étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ ; pour une somme, applique la formule de la nature de la suite ; pour un seuil, calcule des termes ou lis un algorithme.
Rédige chaque étape : hypothèse, calcul, conclusion. Les exercices de la deuxième partie sont indépendants, donc un blocage ailleurs ne t'empêche pas de réussir celui-ci.

Quand et pourquoi utiliser cette méthode

Un exercice sur les suites revient très souvent dans la partie exercices de l'épreuve. Cette partie est notée sur 14 points et réunit deux ou trois exercices qui ne dépendent pas les uns des autres ¹. Tu peux donc traiter l'exercice sur les suites au moment que tu choisis, sans attendre d'avoir fini un autre exercice.

Les questions suivent presque toujours le même fil : calculer quelques termes, reconnaître la nature de la suite, trouver une formule explicite, étudier les variations, puis répondre à une question de somme ou de seuil. Cette méthode te donne un réflexe pour chacune de ces étapes.

IdentifierFormule en n ou relation de récurrence ?
CalculerLes premiers termes, dans l'ordre
NatureDifférence ou quotient constant
ÉtudierVariations, formule, somme
SeuilTermes successifs ou algorithme

Les étapes d'un exercice sur les suites · Le fil habituel d'un exercice sur les suites.

Étape 1 : identifier le mode de génération

Une suite $(u_n)$ peut être donnée de deux façons.

Mode explicite : une formule donne $u_n$ directement en fonction de $n$ , par exemple $u_n = 3n+2$ . Pour $u_{10}$ , on remplace $n$ par $10$ .
Mode par récurrence : on donne le premier terme et une relation qui passe d'un terme au suivant, par exemple $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 2$ . Pour obtenir $u_{10}$ , il faut calculer les termes un par un, sauf si l'on trouve une formule explicite.

Étape 2 : reconnaître la nature de la suite

Étape 3 : variations, sommes et seuils

Rédiger et gérer l'exercice

Ne laisse pas une question vide parce que tu bloques sur la précédente. Une question qui te dit « en déduire » accepte le résultat de la question d'avant : tu peux admettre ce résultat, l'écrire clairement, et poursuivre.

Pense aussi à garder la calculatrice à portée de main pour les calculs de termes et les seuils, et à écrire les valeurs exactes quand c'est possible avant de donner un arrondi.

Exercices corrigés

Exercice 1 Une suite avec suite auxiliaire

★★☆Environ 15 min

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier $n$ , $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 2$ . On pose $v_n = u_n - 10$ .

Calcule $u_1$ et $u_2$ .
Montre que $(v_n)$ est une suite géométrique dont tu donneras la raison et le premier terme.
Exprime $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$ .
Calcule $u_{10}$ (arrondi au dix-millième).

Indice 1

Pour la question 2, écris $v_{n+1} = u_{n+1} - 10$ et remplace $u_{n+1}$ par $0{,}8u_n+2$ .

Indice 2

Après avoir remplacé, factorise par $0{,}8$ : tu dois retrouver $u_n - 10$ .

Voir la correction pas à pas

Question 1 : $u_1 = 0{,}8\times 5 + 2 = 6$ , puis $u_2 = 0{,}8\times 6 + 2 = 6{,}8$ .
Question 2 : pour tout $n$ , $v_{n+1} = u_{n+1}-10 = 0{,}8u_n + 2 - 10 = 0{,}8u_n - 8$ .
On factorise : $0{,}8u_n - 8 = 0{,}8\,(u_n - 10) = 0{,}8\,v_n$ . Cette égalité est vraie pour tout $n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$ .
Le premier terme est $v_0 = u_0 - 10 = 5 - 10 = -5$ .
Question 3 : $v_n = -5\times 0{,}8^n$ , donc $u_n = v_n + 10 = 10 - 5\times 0{,}8^n$ .
Question 4 : $u_{10} = 10 - 5\times 0{,}8^{10} = 10 - 5\times 0{,}1073741824 \approx 9{,}4631$ .

La suite auxiliaire a transformé une récurrence en suite géométrique, ce qui donne une formule explicite. Comme $0{,}8^n$ devient très petit, les termes se rapprochent de $10$ en restant en dessous.

Quiz

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Que dois-tu établir pour prouver qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique ?
Que $u_1-u_0 = u_2-u_1$ Que $u_{n+1}-u_n$ est égal à un même nombre, pour tout entier $n$ Que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant pour tout $n$ Que la suite est croissante
Soit $(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $4$ . Calcule $u_{20}$ .
Ta réponse
Si $u_{n+1} - u_n = -2$ pour tout entier $n$ , la suite $(u_n)$ est croissante.
VraiFaux
Calcule la somme $1+3+9+27+81$ .
Ta réponse
Les exercices de la deuxième partie de l'épreuve, notée sur 14 points, dépendent les uns des autres : il faut réussir le premier pour traiter le suivant.
VraiFaux

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser la différence ou le quotient ?

Regarde la relation de récurrence. Si l'on ajoute un nombre à chaque pas ( $u_{n+1} = u_n + 5$ ), pense à la différence : suite arithmétique. Si l'on multiplie par un nombre ( $u_{n+1} = 2u_n$ ), pense au quotient : suite géométrique. Si les deux opérations se mélangent ( $u_{n+1} = 0{,}8u_n + 2$ ), l'énoncé fournit en général une suite auxiliaire.

Que faire si je n'arrive pas à démontrer qu'une suite est géométrique ?

Passe à la question suivante en admettant le résultat annoncé par l'énoncé. Les questions du type « en déduire » reposent sur ce résultat, et tu peux l'utiliser en précisant que tu l'admets. Reviens ensuite à la démonstration si le temps le permet.

Faut-il toujours chercher une formule explicite ?

Non. Pour un seuil, quelques termes calculés à la calculatrice peuvent suffire. La formule explicite devient utile quand on te demande $u_n$ pour un grand rang, une somme ou le comportement de la suite quand $n$ devient grand.

Comment présenter un calcul de termes pour qu'il soit lisible ?

Écris la relation, remplace par la valeur numérique, donne le résultat, et passe au terme suivant sur une nouvelle ligne. Précise le rang à chaque ligne ( $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ ) : le correcteur doit pouvoir suivre ta progression sans deviner.

Sources

Programme visé : Épreuve anticipée de mathématiques aux baccalauréats général et technologique · Éduscol (Ministère de l'Éducation Nationale)

Épreuve anticipée de mathématiques aux baccalauréats général et technologique, Éduscol (Ministère de l'Éducation Nationale). Consulté le 7 novembre 2026.
Ressource pédagogique — Suites : générations et propriétés (document Éduscol), Éduscol. Consulté le 7 novembre 2026.
Bulletin officiel spécial n° 4 du 17 septembre 2026 — Programme de mathématiques, Bulletin officiel (Ministère de l'Éducation Nationale). Consulté le 7 novembre 2026.
Suite de Fibonacci, Wikipédia. Consulté le 7 novembre 2026.

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