Rédiger une démonstration : exercices corrigés de 1re

Hypothèses : soient $a$ et $b$ deux entiers pairs. Il existe donc deux entiers $k$ et $m$ tels que $a=2k$ et $b=2m$.

Calcul : $a+b=2k+2m=2(k+m)$.

Propriété utilisée : $k+m$ est un entier, car la somme de deux entiers est un entier.

Conclusion : $a+b$ s'écrit $2\times(\text{entier})$, donc $a+b$ est pair.

Repérer le plus grand côté : c'est $[BC]$, de longueur 13 cm.

Calculer : $AB^2+AC^2=5^2+12^2=25+144=169$ cm².

Calculer l'autre membre : $BC^2=13^2=169$ cm².

Comparer : $AB^2+AC^2=BC^2$.

Conclure avec la propriété : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Transformer l'écriture : $x^2-6x+10=(x-3)^2-9+10=(x-3)^2+1$.

Vérifier : en développant, $(x-3)^2+1=x^2-6x+9+1=x^2-6x+10$. L'égalité est exacte.

Utiliser une propriété : pour tout réel $x$, $(x-3)^2\geq 0$.

Ajouter 1 aux deux membres : $(x-3)^2+1\geq 1$, donc $x^2-6x+10\geq 1$.

Cas d'égalité : l'égalité a lieu si et seulement si $(x-3)^2=0$, c'est-à-dire $x=3$. Pour $x=3$, l'expression vaut $9-18+10=1$.

Annoncer les cas : un entier naturel $n$ est pair ou impair. Ces deux cas couvrent toutes les possibilités.

Premier cas, $n$ pair : il existe un entier $k$ tel que $n=2k$. Alors $n(n+1)=2k(n+1)$, qui est le double de l'entier $k(n+1)$. Le nombre est donc pair.

Second cas, $n$ impair : il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$. Alors $n+1=2k+2=2(k+1)$ et $n(n+1)=n\times 2(k+1)=2\,n(k+1)$. C'est le double de l'entier $n(k+1)$, donc un nombre pair.

Conclure : dans les deux cas possibles, $n(n+1)$ est pair. Il est donc pair pour tout entier naturel $n$.

Formuler la contraposée : l'implication « si $n^2$ est pair alors $n$ est pair » a pour contraposée « si $n$ est impair alors $n^2$ est impair ».³

Hypothèse de la contraposée : $n$ est impair, donc il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$.

Calcul : $n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$.

Propriété utilisée : $2k^2+2k$ est un entier, donc $n^2$ s'écrit $2\times(\text{entier})+1$ : il est impair.

Conclure : la contraposée est démontrée. Comme une implication et sa contraposée sont équivalentes, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

Supposer le contraire : on suppose que $\sqrt{2}$ est rationnel. Il s'écrit alors $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers strictement positifs sans diviseur commun autre que 1 (fraction irréductible).

Élever au carré : $2=\dfrac{a^2}{b^2}$, donc $a^2=2b^2$.

Première conséquence : $a^2$ est le double d'un entier, donc $a^2$ est pair. D'après l'exercice précédent, $a$ est pair : il existe un entier $k$ tel que $a=2k$.

Remplacer : $a^2=4k^2$, donc $4k^2=2b^2$, soit $b^2=2k^2$.

Seconde conséquence : $b^2$ est pair, donc $b$ est pair.

Contradiction : $a$ et $b$ sont tous les deux pairs, donc la fraction $\dfrac{a}{b}$ n'est pas irréductible. Cela contredit l'hypothèse de départ.

Conclure : l'hypothèse « $\sqrt{2}$ est rationnel » est fausse. Le nombre $\sqrt{2}$ n'est donc pas rationnel.