Épreuve anticipée de mathématiques — méthode · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Rédiger une démonstration : méthode pour l'épreuve de 1re

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une démonstration est une suite structurée d'étapes de raisonnement correctes : chacune s'appuie sur un fait acquis ou sur une règle appliquée à des résultats déjà établis ⁴.
Avant d'écrire, sépare ce qu'on te donne (hypothèses) de ce qu'on te demande (conclusion).
Choisis ton raisonnement : déductif direct, disjonction de cas, absurde ou contraposée ²³.
Chaque ligne se justifie : tu écris l'argument (définition, propriété, calcul) qui permet de passer à la suivante.
Termine par une phrase de conclusion qui reprend exactement ce qu'il fallait montrer.

Quand utiliser cette méthode

Dans le programme de première, la démonstration occupe une vraie place : le texte officiel la présente comme une composante fondamentale de l'activité mathématique ¹. À l'épreuve anticipée, tu rencontres des énoncés qui commencent par « montrer que », « démontrer que » ou « justifier que ». Dans tous ces cas, un résultat numérique ou une affirmation sans justification ne rapporte presque rien : ce qui compte, c'est la chaîne de raisonnement que tu écris.

Cette page te donne un plan de rédaction réutilisable, que tu appliqueras ensuite aux exercices sur les fonctions, les suites et les probabilités.

Les étapes de la méthode

Voici le plan à suivre, dans l'ordre. Il fonctionne pour presque toutes les démonstrations demandées en première.

LireHypothèses d'un côté, résultat à montrer de l'autre
ChercherBrouillon, petit exemple, propriété du cours
ChoisirDirect, cas, absurde ou contraposée
RédigerUne idée par ligne, avec sa justification
ConclureReprendre l'énoncé demandé

Les étapes pour rédiger une démonstration · Plan à suivre pour toute démonstration.

Choisir le bon type de raisonnement

Les documents d'accompagnement du programme évoquent le raisonnement déductif, mais aussi la disjonction de cas et le raisonnement par l'absurde ². Le raisonnement par contraposée est lui aussi cité parmi ceux qui apparaissent dans les démonstrations du programme et dans quelques exercices ³.

Quel raisonnement pour quelle situation ?
Raisonnement	Idée	Quand l'essayer
Déductif (direct)	Partir des hypothèses et enchaîner jusqu'au résultat	Cas par défaut, calcul algébrique
Disjonction de cas	Séparer toutes les situations possibles et traiter chacune	Parité, signe, position
Absurde	Supposer le contraire et obtenir une contradiction	Conclusion de type « n'existe pas »
Contraposée	Montrer « si non B alors non A » pour « si A alors B »	« non B » plus facile à exploiter que A

Quel raisonnement pour quelle situation ? · Choisir son raisonnement selon l'énoncé.

Exemples rédigés

Démonstration · Pourquoi la contraposée est valable

Prenons l'implication « si $n^2$ est pair alors $n$ est pair ». Directement, elle est peu pratique. La contraposée est valable car si « non B entraîne non A », il est impossible d'avoir A vrai et B faux : donc A entraîne B. On démontre sa contraposée : « si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair ». C'est précisément le premier exemple de cette page. Comme une implication et sa contraposée sont équivalentes, l'implication de départ est démontrée.

Soigner la rédaction

Une démonstration juste mais mal écrite perd des points. Voici les habitudes qui rendent une copie lisible.

Exercices corrigés

Exercice 1 Somme de trois entiers consécutifs

★★☆Environ 10 min

Démontre que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.
Applique ton résultat aux entiers 14, 15 et 16 : par quel entier faut-il multiplier 3 pour obtenir leur somme ?

Indice 1

Note $n$ le plus petit des trois entiers : les deux autres s'écrivent avec $n$ .

Indice 2

Développe puis factorise par 3.

Voir la correction pas à pas

On note $n$ un entier. Les trois entiers consécutifs sont $n$ , $n+1$ et $n+2$ .
Leur somme vaut $n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3$ .
On factorise : $3n+3 = 3(n+1)$ . Comme $n+1$ est un entier, la somme est un multiple de 3.
Conclusion : la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.
Pour 14, 15 et 16 : $n = 14$ , donc la somme vaut $3 \times 15 = 45$ . Le facteur cherché est 15.

La démonstration repose sur une écriture littérale ( $n$ , $n+1$ , $n+2$ ) qui représente tous les cas à la fois, puis sur une factorisation. Le test sur 14, 15, 16 illustre le résultat sans le prouver.

Les questions qu'on se pose

Peut-on démontrer un résultat général avec un exemple ?

Non. Un exemple montre que le résultat est possible sur un cas, pas qu'il est vrai pour tous. En revanche, un seul contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation générale est fausse. Pour démontrer, il faut un raisonnement valable pour une valeur quelconque, comme $n$ ou $x$ .

Comment savoir quel type de raisonnement choisir ?

Commence par le raisonnement direct : pars des hypothèses et cherche la propriété qui avance vers le résultat. Si le résultat dépend de la parité ou du signe, pense à la disjonction de cas. Si la conclusion est une négation (« n'existe pas »), tente l'absurde. Si l'hypothèse est difficile à exploiter, essaie la contraposée ²³.

Faut-il tout justifier, même les calculs simples ?

Justifie chaque passage qui n'est pas une évidence de calcul pour un lecteur de ton niveau. Cite une définition ou une propriété du cours quand tu l'utilises (identité remarquable, définition d'un entier pair…). Un calcul élémentaire comme $2k+2k=4k$ n'a pas besoin de commentaire.

Que faire si je n'arrive pas à démontrer le résultat ?

Écris ce que tu as réellement établi, avec des étapes justes, et n'invente pas de lien pour arriver à la conclusion. Une preuve peut n'être que partielle pendant la recherche ², et une partie correctement rédigée vaut mieux qu'une démonstration fausse. Teste d'abord sur de petites valeurs pour voir le mécanisme.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques de première générale · Ministère de l'Éducation nationale

Programme de mathématiques de première générale, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 7 novembre 2026.
Raisonnement et démonstration - Première générale, Éduscol. Consulté le 7 novembre 2026.
Intentions majeures - Raisonnement et démonstration, Éduscol. Consulté le 7 novembre 2026.
Démonstration (logique et mathématiques), Wikipédia. Consulté le 7 novembre 2026.

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